정칙 벡터 다발

(해석적 벡터다발에서 넘어옴)

미분기하학에서, 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수복소수 벡터 다발이다.[1]

정의편집

 복소다양체이고, 그 위에  복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면   또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영  복소다양체 사이의 정칙 함수라면,  정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로,  단면  정칙 함수라면, 이를  정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발  의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며,  라고 쓴다. 만약  가 자명한 복소수 선다발  라면,   구조층(영어: structure sheaf)  과 같다.

연산편집

정칙 벡터 다발  이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

 

을 정의할 수 있다. 그 올

 

 의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질편집

정칙 벡터 다발  코호몰로지  는 그 해석적 단면들의  층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

  •   의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
  •  는 자명 선다발 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발  들로 구성된다.
     

정칙 접속편집

복소다양체   위의 복소수 매끄러운 벡터 다발   위의 벡터 다발 접속   이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

 

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간  의 복소화  는 다음과 같이 분해된다.

 

즉,

 

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속   역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

 
 

이제,  가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

 

가 잘 정의된다. (이는  의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면,  는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약  가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로  이 정의되며  이 정의되지 않는다.) 만약

 

이라면, 접속  정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다.

에르미트 계량편집

에르미트 계량  를 갖춘 복소수 벡터 다발  의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약  가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약  켈러 다양체정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발  의 국소 자명화

 

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

 

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

 
 

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

 

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

 

로 주어진다.

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정칙 접다발편집

복소다양체  의 접다발  을 생각하자. 그 위에 복소구조  가 작용하며, 이는 정의에 따라  을 만족시킨다. 즉,

 

고윳값 이며, 이에 의하여

 

으로 분해된다. 이 경우,  정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면,  은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발편집

비특이 복소수 대수다양체   위의 대수적 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체  복소다양체 사이의 정칙 함수  를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약  가 추가로 사영 대수다양체라면,   위의 모든 정칙 벡터 다발은   위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발편집

복소수 벡터 공간   위의 자명한 복소수 벡터 다발

 

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사편집

에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8. 

외부 링크편집