다음이 주어졌다고 하자.
스킴
K
{\displaystyle K}
스킴
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
스킴 사상
T
→
K
←
X
{\displaystyle T\to K\leftarrow X}
S
/
K
{\displaystyle S/K}
X
/
K
{\displaystyle X/K}
K
{\displaystyle K}
스킴 이며, 조각 범주
Sch
/
K
{\displaystyle \operatorname {Sch} /K}
그렇다면,
K
{\displaystyle K}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
부분 스킴 의 족영어 : family of subschemes of
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
)은 닫힌 부분 스킴
Y
⊆
X
×
K
S
{\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S}
가운데, 표준적
K
{\displaystyle K}
스킴 사상
Y
/
K
→
S
/
K
{\displaystyle Y/K\to S/K}
이 평탄 사상 인 것이다.
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
Hilb
X
/
K
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}(S)}
K
{\displaystyle K}
스킴 사상
f
:
S
′
/
K
→
S
/
K
{\displaystyle f\colon S'/K\to S/K}
S
{\displaystyle S}
Y
⊆
X
×
K
S
{\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S}
(
X
,
f
)
:
X
×
K
S
→
X
×
K
S
′
{\displaystyle (X,f)\colon X\times _{K}S\to X\times _{K}S'}
아래
X
{\displaystyle X}
Y
′
⊆
X
×
K
S
{\displaystyle Y'\subseteq X\times _{K}S}
을 정의할 수 있다. 즉,
Hilb
X
/
K
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}}
K
{\displaystyle K}
조각 범주 의 반대 범주
(
Sch
/
K
)
op
{\displaystyle (\operatorname {Sch} /K)^{\operatorname {op} }}
집합 과 함수 의 범주
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
함자 를 정의한다. 즉, 이는
Sch
/
K
{\displaystyle \operatorname {Sch} /K}
준층 이다.
만약 이 함자가 표현 가능 함자 라면, 이를 표현하는 스킴 을
Hilb
P
n
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}}
hom
Sch
/
K
(
S
,
Hilb
X
/
K
)
=
Hilb
X
/
K
(
S
)
{\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} /K}(S,\operatorname {Hilb} _{X/K})=\operatorname {Hilb} _{X/K}(S)}
이다.
물론,
K
=
Spec
Z
{\displaystyle K=\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }
hom
Sch
(
S
,
Hilb
X
)
=
Hilb
X
(
S
)
{\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} }(S,\operatorname {Hilb} _{X})=\operatorname {Hilb} _{X}(S)}
이다.
만약
S
{\displaystyle S}
국소 뇌터 스킴 이며,
X
/
S
{\displaystyle X/S}
사영 스킴 이라면,
Hilb
X
/
S
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/S}}
특히, 정수 계수의 사영 공간
P
Z
n
=
Proj
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
은 힐베르트 스킴을 갖는다.
반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체 가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케 는 사영 대수다양체 가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체
X
{\displaystyle X}
대수 공간
X
2
/
Sym
(
2
)
{\displaystyle X^{2}/\operatorname {Sym} (2)}
스킴 으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간
Hilb
X
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(2)}
스킴 이 아니다.
힐베르트 다항식으로의 분해
편집
K
{\displaystyle K}
국소 뇌터 스킴 이며,
X
=
P
K
n
=
P
Z
n
×
K
{\displaystyle X=\mathbb {P} _{K}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times K}
K
{\displaystyle K}
사영 공간 이라고 하자. 그렇다면, 그
K
{\displaystyle K}
힐베르트 다항식 을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다.
평탄 스킴 족 의 올들은 같은 힐베르트 다항식 을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식 에 대한 성분들의 분리합집합 이다.
Hilb
P
K
n
/
K
=
⨆
p
∈
Q
[
x
]
Hilb
P
K
n
/
K
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}=\bigsqcup _{p\in \mathbb {Q} [x]}\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)}
즉, 각 유리수 계수 다항식
p
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x]}
Hilb
P
K
n
/
K
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)}
힐베르트 다항식 이
p
{\displaystyle p}
닫힌 부분 스킴 의 모듈라이 공간 이다.
사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성
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정수 계수 사영 공간
P
Z
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}
Hilb
P
Z
n
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}}
다항식
p
∈
Q
[
t
]
{\displaystyle p\in \mathbb {Q} [t]}
고츠만 수 (Gotzmann數, 영어 : Gotzmann number )는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수
D
{\displaystyle D}
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
I
⊆
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
I
=
⋃
i
=
1
∞
(
I
:
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
i
)
{\displaystyle {\mathfrak {I}}=\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }({\mathfrak {I}}:(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})^{i})}
I
{\displaystyle {\mathfrak {I}}}
힐베르트 다항식 이
p
{\displaystyle p}
I
{\displaystyle {\mathfrak {I}}}
D
{\displaystyle D}
힐베르트 스킴
Hilb
P
n
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)}
Hilb
P
n
(
p
)
=
{
(
V
,
W
)
∈
Grass
(
(
n
+
D
n
)
−
p
(
D
)
,
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
D
)
×
Grass
(
(
n
+
D
n
)
−
p
(
D
)
,
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
D
)
:
∀
i
:
x
i
V
⊆
W
}
{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)=\left\{(V,W)\in \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\times \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\colon \forall i\colon x_{i}V\subseteq W\right\}}
여기서
Grass
(
a
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {Grass} (a,V)}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
a
{\displaystyle a}
모듈라이 공간 인 그라스만 다양체 이다.
D
∈
N
{\displaystyle D\in \mathbb {N} }
p
{\displaystyle p}
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
D
{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}}
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}}
D
{\displaystyle D}
동차다항식 들의 공간이다.
(
a
b
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {a}{b}}}
이항 계수 이다. 참고 문헌
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Nitsure, Nitin. “Construction of Hilbert and Quot schemes” (영어). arXiv :math/0504590 . Habibi, S. (2009). 《Hilbert and Quot schemes》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수: L. Barbieri Viale). Université de Bordeaux Ⅺ. 외부 링크
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![{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4918684cef69fc07ca2297b86b36cef8fb3f6fdc)
![{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}=\bigsqcup _{p\in \mathbb {Q} [x]}\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9358e58ec74866acbd9c38d192c356d10d74638d)
![{\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8492973a44d7b4ca8898f704007aa75254b45a8)
![{\displaystyle p\in \mathbb {Q} [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58977764ce9363e366ff8ec4b2a252f18f04c65)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d10a98bf15c2afb738559d4f5a3d93ca55d0cf0)
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebccf20901fa7770cfc57dc9b89c77646c2e8fb6)
![{\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)=\left\{(V,W)\in \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\times \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\colon \forall i\colon x_{i}V\subseteq W\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf372a62e32db2fa3e43fe50fede9f7124cd33fe)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67031957809cd9b68853598798594ece7148e4ff)
