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3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다. 수학물리학에서 널리 쓰인다.

정의편집

3차원 직교군  는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

  • 3차원 특수직교군  . 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은  의 부분군을 이룬다. 이 부분군을  라고 한다.
  • 2차원 사영 특수 유니터리 군  .
  • 3차원 사영 특수직교군  . 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

  • 2차원 특수 유니터리 군  는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
  • 3차원 스핀 군  
  • 1차원 심플렉틱 군  . 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

복소수 표현편집

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

 

즉,  는 3차원 스핀 군  과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

 

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선,  2차원 구   위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한,  리만 구  로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

 

이 경우,  의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

 

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

 
 

따라서, 이는 동형  를 정의한다.

사원수 표현편집

동형  은 다음과 같이 이해할 수 있다.  은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

 
 

마찬가지로, 두 겹 피복군  는 다음과 같이 이해할 수 있다.

 
 

이는  를 축으로 하여, 각도  만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도  는 다음과 같다.

 
 

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계  로 나타내었을 때,  는 극각에 해당한다.. 이 경우, 사원수   가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터  를 사원수  로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전  의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각  의 원소를 단위 사원수  ,  로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

 

여기서  에 대한 몫군을 취하는 것은   가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서,  축의 안정자군이다.  축이 고정될 조건은  인 것이며, 따라서  이다. 즉,  의 작용은 다음과 같다.

 

여기서  에 대한 몫군을 취하는 것은  가 같은 작용을 갖기 때문이다.

리 대수편집

 리 대수  의 기저는 파울리 행렬  로 주어진다.

 

 리 대수  의 기저는 무한소 3차원 회전  로 다음과 같이 주어진다.

 
 
 

  번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

 

이 경우, 리 대수의 동형  는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

 

성질편집

대수학적 성질편집

 중심 이며, 이에 대하여 몫군을 취하면  를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

위상수학적 성질편집

  는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

 는 위상수학적으로 3차원 초구  이다. (초구리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

 는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간  이다. 여기서  에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

 는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

표현론편집

 의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원  에 대하여, (동형 아래) 유일한  차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약  이 짝수인 경우, 이는  차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서,  차원 표현은 스핀   표현으로 일컬어진다.

 의 유한 차원 표현들은   차원 표현들 가운데,  이 홀수인 것들이다. 예를 들어,  인 경우는  를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

외부 링크편집

같이 보기편집