3차원 직교군
O
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )}
직교 행렬 들로 구성된 리 군 이다.
다음과 같은 리 군들이 서로 동형 이다.
3차원 특수직교군
SO
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )}
행렬식 은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은
O
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (3;\mathbb {R} )}
SO
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )}
2차원 사영 특수 유니터리 군
PSU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {PSU} (2)}
3차원 사영 특수직교군
PSO
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )}
다음과 같은 리 군들이 서로 동형 이다.
2차원 특수 유니터리 군
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군 이다.3차원 스핀 군
Spin
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}
1차원 심플렉틱 군
Sp
(
1
)
=
USp
(
2
)
≅
{
x
∈
H
:
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)=\operatorname {USp} (2)\cong \{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}}
사원수 들의 곱셈군이다.다음과 같은 두 겹 피복 이 존재한다.
SU
(
2
)
↠
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}
즉,
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
스핀 군
Spin
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}
(
α
β
−
β
¯
α
¯
)
↦
(
1
2
(
α
2
−
β
2
+
α
¯
2
−
β
¯
2
)
i
2
(
−
α
2
−
β
2
+
α
¯
2
+
β
¯
2
)
−
α
β
−
α
¯
β
¯
i
2
(
α
2
−
β
2
−
α
¯
2
+
β
¯
2
)
1
2
(
α
2
+
β
2
+
α
¯
2
+
β
¯
2
)
−
i
(
+
α
β
−
α
¯
β
¯
)
α
β
¯
+
α
¯
β
i
(
−
α
β
¯
+
α
¯
β
)
α
α
¯
−
β
β
¯
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}-{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-i(+\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }})\\\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta )&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}\end{pmatrix}}}
이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선,
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
2차원 구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
등거리 사상 으로 구성된 표준적인 충실한 표현 을 가진다. 또한,
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
리만 구
C
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
뫼비우스 변환 으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
ι
:
SO
(
3
)
↪
PSL
(
2
;
C
)
{\displaystyle \iota \colon \operatorname {SO} (3)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}
이 경우,
ι
{\displaystyle \iota }
z
↦
α
z
+
β
−
β
¯
z
+
α
¯
{\displaystyle z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}}
마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
ι
′
:
PSU
(
2
)
↪
PSL
(
2
;
C
)
{\displaystyle \iota '\colon \operatorname {PSU} (2)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}
ι
′
:
±
(
α
β
−
β
¯
α
¯
)
↦
(
z
↦
α
z
+
β
−
β
¯
z
+
α
¯
)
{\displaystyle \iota '\colon \pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto \left(z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}\right)}
따라서, 이는 동형
PSU
(
2
)
≅
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}
동형
SU
(
2
)
≅
Sp
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)}
Sp
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}
사원수 들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬 은 다음과 같다.
Sp
(
1
)
↦
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SU} (2)}
a
+
i
b
+
j
c
+
k
d
↦
(
a
+
i
b
−
c
+
i
d
c
+
i
d
a
−
i
b
)
{\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}a+ib&-c+id\\c+id&a-ib\end{pmatrix}}}
마찬가지로, 두 겹 피복군
Sp
(
1
)
↠
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}
Sp
(
1
)
↦
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SO} (3)}
a
+
i
b
+
j
c
+
k
d
↦
(
1
−
2
c
2
−
2
d
2
2
b
c
−
2
d
a
2
b
d
+
2
c
a
2
b
c
+
2
d
a
1
−
2
b
2
−
2
d
2
2
c
d
−
2
b
a
2
b
d
−
2
c
a
2
c
d
+
2
b
a
1
−
2
b
2
−
2
c
2
)
{\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}1-2c^{2}-2d^{2}&2bc-2da&2bd+2ca\\2bc+2da&1-2b^{2}-2d^{2}&2cd-2ba\\2bd-2ca&2cd+2ba&1-2b^{2}-2c^{2}\end{pmatrix}}}
이는
(
b
,
c
,
d
)
{\displaystyle (b,c,d)}
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
θ
{\displaystyle \theta }
cos
(
θ
)
=
a
{\displaystyle \cos(\theta )=a}
|
sin
(
θ
)
|
=
‖
a
+
i
b
+
j
c
+
k
d
‖
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
{\displaystyle |\sin(\theta )|=\|a+ib+jc+kd\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계
(
r
,
θ
,
ϕ
,
χ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi ,\chi )}
θ
{\displaystyle \theta }
a
+
i
b
+
j
c
+
k
d
{\displaystyle a+ib+jc+kd}
−
a
−
i
b
−
j
c
−
k
d
{\displaystyle -a-ib-jc-kd}
이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터
(
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (t,x,y,z)}
v
=
t
+
i
x
+
i
y
+
i
z
{\displaystyle v=t+ix+iy+iz}
SO
(
4
)
≅
(
SU
(
2
)
×
SU
(
2
)
)
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
v
↦
q
1
v
q
2
{\displaystyle v\mapsto q_{1}vq_{2}}
여기서
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
(
q
1
,
q
2
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2})}
(
−
q
1
,
−
q
2
)
{\displaystyle (-q_{1},-q_{2})}
3차원 공간의 회전은 이 작용 에서,
t
{\displaystyle t}
안정자군 이다.
t
{\displaystyle t}
q
1
q
2
=
1
{\displaystyle q_{1}q_{2}=1}
q
1
=
q
2
−
1
=
q
¯
2
{\displaystyle q_{1}=q_{2}^{-1}={\bar {q}}_{2}}
SO
(
3
)
≅
Sp
(
1
)
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)/(\mathbb {Z} /2)}
v
↦
q
v
q
¯
(
q
∈
H
,
‖
q
‖
=
1
)
{\displaystyle v\mapsto qv{\bar {q}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1)}
여기서
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
±
q
{\displaystyle \pm q}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
리 대수
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
파울리 행렬
1
2
σ
i
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i}}
[
1
2
σ
i
,
1
2
σ
j
]
=
ϵ
i
j
k
1
2
σ
k
{\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon _{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}}
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
리 대수
s
o
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
L
1
=
(
0
0
0
0
0
−
1
0
1
0
)
{\displaystyle L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}}
L
2
=
(
0
0
1
0
0
0
−
1
0
0
)
{\displaystyle L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}
L
3
=
(
0
−
1
0
1
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
i
{\displaystyle i}
[
L
i
,
L
j
]
=
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon _{ijk}L^{k}}
이 경우, 리 대수의 동형
su
(
2
)
≅
so
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {su} (2)\cong \operatorname {so} (3)}
1
2
σ
1
↦
L
i
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{1}\mapsto L_{i}}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
중심 은
{
±
1
2
×
2
}
{\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}}
몫군 을 취하면
PSU
(
2
)
≅
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}
SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체 이다.
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
초구
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
초구 에 리 군 의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간 이다.
SO
(
3
)
≅
PSU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {PSU} (2)}
실수 사영 공간
R
P
3
≅
S
3
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}\cong \mathbb {S} ^{3}/(\mathbb {Z} /2)}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
몫공간 을 취하는 것은 대척점 을 이어붙이는 것과 같다.
O
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {O} (3)}
연결 성분 을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
양자역학 에서,
n
{\displaystyle n}
스핀
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle (n-1)/2}
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
SO
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
![{\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon _{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f0c03ffd30d3674103caf4ed0d6a00764b13c9)
![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon _{ijk}L^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0b95adf47477594d3154d03a0f6cc68ed1c3eb)
