n
{\displaystyle n}
R
×
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}
갈릴레이 변환 (Galilei變換, 영어 : Galilean transformation )은 다음과 같은 꼴의 함수이다.
(
t
,
x
)
↦
(
t
+
s
,
t
v
+
R
x
+
y
)
,
(
s
∈
R
,
v
∈
R
n
,
R
∈
SO
(
n
;
R
)
)
{\displaystyle (t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))}
이들은 함수의 합성 아래
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
/
2
{\displaystyle (n+1)(n+2)/2}
리 군 을 이루며, 이를 갈릴레이 군 (Galilei群, 영어 : Galilean group )
Gal
(
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}
리 군 반직접곱 으로 나타낼 수 있다.
Gal
(
n
+
1
)
=
R
n
+
1
⋊
ISO
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}
여기서
ISO
(
n
;
R
)
=
R
n
⋊
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}
유클리드 군 이다.
ISO
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}
ISO
(
n
;
R
)
=
{
(
1
v
0
R
)
:
v
∈
R
n
,
R
∈
SO
(
n
;
R
)
}
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}}
그렇다면, 반직접곱에서
ISO
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}
R
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
작용 은 다음과 같다.
ISO
(
n
;
R
)
→
Aut
(
R
n
+
1
)
=
GL
(
R
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})}
(
1
0
v
R
)
:
(
t
,
x
)
↦
(
1
0
v
R
)
(
t
x
)
=
(
t
R
x
+
v
t
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}}
갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.
Gal
(
n
+
1
)
=
{
(
1
0
0
s
1
0
y
v
R
)
:
R
∈
SO
(
n
)
,
v
,
y
∈
R
n
,
s
∈
R
}
{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}}
이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.
(
1
0
0
s
1
0
y
v
R
)
:
(
1
t
x
)
↦
(
1
0
0
s
1
0
y
v
R
)
(
1
t
x
)
=
(
1
t
+
s
R
x
+
v
t
+
y
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}}
갈릴레이 군
Gal
(
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}
리 대수 를 갈릴레이 대수 (Galilei代數, 영어 : Galilean algebra )
g
a
l
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {gal}}(n+1)}
생성원
기호
단위
시간 변화
H
{\displaystyle H}
[시간]−1
공간 병진 이동
P
i
{\displaystyle P_{i}}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
[길이]−1
공간 회전
J
i
j
{\displaystyle J_{ij}}
i
,
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i,j=1,\dots ,n}
J
i
j
=
−
J
j
i
{\displaystyle J_{ij}=-J_{ji}}
1
갈릴레이 변환
C
i
{\displaystyle C_{i}}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
[시간] [길이]−1
그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는
i
{\displaystyle i}
[
H
,
P
i
]
=
[
P
i
,
P
j
]
=
[
J
i
j
,
H
]
=
[
C
i
,
C
j
]
=
[
C
i
,
P
j
]
=
0
{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0}
[
J
i
j
,
J
k
l
]
=
i
[
δ
i
k
J
j
l
−
δ
i
l
J
j
k
−
δ
j
k
J
i
l
+
δ
j
l
J
i
k
]
{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}
[
J
i
j
,
P
k
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
−
δ
j
k
P
i
]
{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}
[
J
i
j
,
C
k
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
−
δ
j
k
C
i
]
{\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}
[
C
i
,
H
]
=
i
P
i
{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}
갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수 와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지 를 가진다.[ 1] :191, §Ⅳ.7
dim
H
2
(
g
a
l
(
3
+
1
)
)
=
1
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1}
이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하
M
{\displaystyle M}
[
H
,
P
i
]
=
[
P
i
,
P
j
]
=
[
J
i
j
,
H
]
=
[
C
i
,
C
j
]
=
0
{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0}
[
J
i
j
,
J
k
l
]
=
i
[
δ
i
k
J
j
l
−
δ
i
l
J
j
k
−
δ
j
k
J
i
l
+
δ
j
l
J
i
k
]
{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}
[
J
i
j
,
P
k
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
−
δ
j
k
P
i
]
{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}
[
J
i
j
,
C
k
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
−
δ
j
k
C
i
]
{\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}
[
C
i
,
H
]
=
i
P
i
{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}
[
C
i
,
P
j
]
=
i
M
δ
i
j
{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}}
따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화 한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.
3+1차원 갈릴레이 대수
g
a
l
(
3
+
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {gal}}(3+1)}
중심 확대 의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.
우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수 의 중심 은 다음 원소들로 생성된다.
중심 전하
M
{\displaystyle M}
질량 에 해당한다.
질량껍질 불변량
M
E
−
P
2
/
2
{\displaystyle ME-P^{2}/2}
질량 과 정지 에너지 의 곱이다.
W
i
j
=
M
J
i
j
+
P
i
C
j
−
P
j
C
i
{\displaystyle W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}
W
i
j
k
=
P
i
J
j
k
+
P
j
J
k
i
+
P
k
J
i
j
{\displaystyle W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}}
W
i
j
{\displaystyle W_{ij}}
W
i
j
k
{\displaystyle W_{ijk}}
푸앵카레 군 의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터 와 유사하다.
슈어 보조정리 에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각
m
{\displaystyle m}
m
E
0
{\displaystyle mE_{0}}
w
i
j
{\displaystyle w_{ij}}
w
i
j
k
{\displaystyle w_{ijk}}
라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로,
m
{\displaystyle m}
실수 이다. 물리학적으로
E
0
≥
0
{\displaystyle E_{0}\geq 0}
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
(
E
,
P
)
{\displaystyle (E,\mathbf {P} )}
질량껍질 제약
m
E
=
m
E
0
+
P
2
/
2
{\displaystyle mE=mE_{0}+P^{2}/2}
질량껍질
C
i
{\displaystyle C_{i}}
추이적으로 작용 한다.
유도 표현 (위그너 분류 ) 방법을 사용하면,
C
i
{\displaystyle C_{i}}
안정자군 을 고려하게 된다. 이 안정자군은
J
i
j
{\displaystyle J_{ij}}
스핀 군
Spin
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
3차원 스핀 군
Spin
(
3
)
=
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)}
스핀
s
∈
{
0
,
1
/
2
,
1
,
3
/
2
,
…
}
{\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}}
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
Spin
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}
s
{\displaystyle s}
m
{\displaystyle m}
E
0
{\displaystyle E_{0}}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
m
E
−
p
2
/
2
=
−
p
2
/
2
≤
0
{\displaystyle mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0}
유도 표현 방법에 따르면,
(
E
,
P
)
{\displaystyle (E,\mathbf {P} )}
안정자군 을 고려해야 한다.
p
2
=
0
{\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=0}
J
i
j
{\displaystyle J_{ij}}
C
i
{\displaystyle C_{i}}
유클리드 군
ISO
(
n
)
≅
R
n
⋊
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}
유클리드 군 의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공 밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
p
2
>
0
{\displaystyle \mathbf {p} ^{2}>0}
ISO
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
C
i
{\displaystyle C_{i}}
P
i
{\displaystyle P_{i}}
유클리드 군
ISO
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}
영어 : action at a distance )을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군 의 타키온 표현과 유사하다.
0+1차원 갈릴레이 대수
g
a
l
(
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1)}
아벨 리 대수 이다. 0+1차원 갈릴레이 군
Gal
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (1)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1+1차원 갈릴레이 대수
g
a
l
(
1
+
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1+1)}
하이젠베르크 대수
h
(
3
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )}
h
(
3
;
R
)
=
Span
{
x
,
p
,
ℏ
}
{\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}}
[
x
,
p
]
=
i
ℏ
{\displaystyle [x,p]=i\hbar }
[
x
,
ℏ
]
=
[
p
,
ℏ
]
=
0
{\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0}
가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.
C
↦
x
{\displaystyle C\mapsto x}
H
↦
p
{\displaystyle H\mapsto p}
P
↦
ℏ
{\displaystyle P\mapsto \hbar }
이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수 가 아닌 유일한 멱영 리 대수 이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류 에서 II형 대수이다.
마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군 과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬 로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬 로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)
갈릴레이 변환은 뉴턴 역학 에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘 이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식 은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.
실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환 을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군 의 위그너-이뇌뉘 축약(영어 : Wigner–İnönü contraction )이며, 이는 광속 을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속 보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.
![{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f823599b156a5a2ab165bcad7897473271e1d)
![{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1acc9fabe005d7eeedb5b6a049ba974e32f1bb4)
![{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411259ebeba02d0482cea157f5585953480d040b)
![{\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553247b51190a00d78baa2ba7fb1422b05b6460)
![{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5c15080859730f8ba82b588c534682e688e6af)
![{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b43c8b76c79e5a45b05ad0216c51491c01783f)
![{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab959263ef4800d7e6a374d38a137298393dc8c2)
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
![{\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64025b3a0dc7143e30a96bbe00462dfd4aac2a4)
