교차 가군

군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, 영어: crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

정의

교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 군 $G$
• 군 $H$
• 군 준동형 $(\cdot )\colon G\to \operatorname {Aut} (H)$
• 군 준동형 $d\colon H\to G$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\qquad \forall g\in G,\;h\in H$

$d(h)\cdot h'=hh'h^{-1}\qquad \forall h,h'\in H$ (파이퍼 항등식 영어: Peiffer identity)

가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

${\begin{matrix}G\times H&{\overset {(\cdot )}{\to }}&H\\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \operatorname {id} _{G}\times d}\!\!\!\!\!\!\!\!&&{\color {White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle d}\downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}.}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\operatorname {Ad} _{G}\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H\times H&{\overset {d\times \operatorname {id} }{\to }}&G\times H\\\|&&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle (\cdot )}\downarrow {\scriptstyle (\cdot )}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H&{\underset {\operatorname {Ad} _{H}}{\to }}&H\end{matrix}}$

이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 $G$이며, 사상의 군은 $H\rtimes G$이다. 이 경우

$\operatorname {dom} (h,g)=g$

$\operatorname {codom} (h,g)=d(h)g$

이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 $G\to H\rtimes G$이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 대상의 군 $\operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$
• 사상의 군 $\operatorname {Mor} {\mathcal {G}}$
• 항등 사상을 정의하는 군 준동형 $i\colon \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}$
• 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 $\operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$
• 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 $\operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$
• 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 $\{(f,g)\in (\operatorname {Mor} {\mathcal {G}})^{2}\colon \operatorname {dom} f=\operatorname {codom} g\}\to \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}$

이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

교차 가군	군의 범주의 내적 범주
$G$	$\operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$
$H$	$\ker \operatorname {dom} \leq \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}$
$H\rtimes G$	$\operatorname {Mor} {\mathcal {G}}$
$d\colon H\to G$	$\operatorname {codom} \upharpoonright (\ker \operatorname {dom} )$
$(\cdot )\colon G\times H\to H$	$(g,h)\mapsto i(g)hi(g)^{-1}\in \ker \operatorname {dom}$
$H\rtimes G\to G$, $(h,g)\mapsto g$	$\operatorname {dom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$
$H\rtimes G\to G$, $(h,g)\mapsto d(h)g$	$\operatorname {codom} \colon \operatorname {Mor} {\mathcal {G}}\to \operatorname {Ob} {\mathcal {G}}$

예

정규 부분군

임의의 군 $G$의 정규 부분군 $N$이 주어졌을 때,

$d\colon N\hookrightarrow G$

$g\cdot n=gng^{-1}\qquad (g\in G,\;n\in N)$

로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

가군

 이 부분의 본문은 군의 가군입니다.

다음 두 개념이 서로 동치이다.

• 군 $G$의 군환 $\mathbb {Z} [G]$의 왼쪽 가군 $_{\mathbb {Z} [G]}H$
• $d=1_{G}$ (치역이 $G$의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 $(G,H)$

증명:

$\mathbb {Z} [G]$의 왼쪽 가군 $H$가 주어졌다고 하자. 이제, $d=1_{G}$으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 ($H$의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 $d=1_{G}$일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 $H$가 아벨 군임을 의미한다.

반대로, $d=1_{G}$인 교차 가군 $(G,H)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 $H$는 아벨 군이며, 작용 $G\to \operatorname {Aut} (H)$는 $H$ 위에 $\mathbb {Z} [G]$-가군의 구조를 정의한다.

즉, $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군의 범주는 $G$에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을

$hh'=(d(h)\cdot h')h\qquad \forall h,h'\in H$

와 같이 쓰면, 이는 $H$가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

중심 확대

군의 짧은 완전열

$1\to A\to H\,{\xrightarrow {d}}\,G\to 1$

에서, $A$가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

$g\cdot h=khk^{-1}\qquad \forall k\in d^{-1}(g)\subseteq H$

을 정의하면, $(G,H,d,\cdot )$는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 $G=1$이며 $A=H$가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 $A=1$이며 $G=H$가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우

$d=\operatorname {id} _{G}$

$g\cdot h=ghg^{-1}$

이다.^{:Example A.9}

자기 동형군

임의의 군 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형

$d\colon H\to \operatorname {Aut} (H)$

$d\colon h\mapsto (h'\mapsto hh'h^{-1})$

이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, $(\operatorname {Aut} (H),H)$는 교차 가군을 이루며, 이를 $\operatorname {AUT} (H)$라고 한다.^:§2

증명:

파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은

$d(f(h))=f\circ d(h)\circ f^{-1}\qquad \forall h\in H,\;f\in \operatorname {Aut} (H)$

이다. 이를 확인하려면, 임의의 $h'\in H$에 대하여, 좌변은

$d(f(h))(h')=f(h)h'f(h)^{-1}$

인데, 우변은

$\left(f\circ d(h)\circ f^{-1}\right)(h')=f(hf^{-1}(h')h^{-1})=f(h)f(f^{-1}(h'))f(h)^{-1}=f(h)h'f(h)^{-1}$

이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.

2-기본군

위상 공간 $X$의 부분 공간 $A\subseteq X$ 및 $x\in A\subseteq X$에 대하여,

$G=\pi _{1}(A,x)$ (기본군)

$H=\pi _{2}(X,A,x)$ (2차 호모토피 군)

을 정의하고,

$d\colon H\to G$

가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

리 교차 가군

교차 가군 $(G,H)$에서, 만약 $G$와 $H$가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 $(G,H)$의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, $\operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}$, $\operatorname {Lie} (H)={\mathfrak {h}}$라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.

• 두 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {h}}$
• 리 대수 준동형 $\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {h}})$ (공역은 ${\mathfrak {h}}$의 미분 리 대수)
• 리 대수 준동형 $d\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(\rho (g)h)=[g,d(h)]$

$\rho (d(h))=[h,-]=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(h)$ (무한소 파이퍼 항등식)

특히, 파이퍼 항등식으로부터, ${\mathfrak {h}}$의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

$[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}$

$[g,h]=\rho (g)h$

$\deg {\mathfrak {g}}=0$

$\deg {\mathfrak {h}}=1$

를 정의하면, $({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}},d,[-,-])$는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(영어: crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^{:453, §2} 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

“	편의상, 상대 호모토피 군과 같은 대수적 성질을 갖는 군에 대하여 이름을 붙이고, 이에 대하여 몇몇 보조 정리를 증명하자. 이러한 군을 ‘교차 가군’[……]이라고 부르도록 하자. It will be convenient to have a name for groups with the algebraic properties of relative homotopy groups, and to have proved some lemmas concerning them. We shall call such a group a crossed module […].	”
	— :453, §2

외부 링크

• “Crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Differential crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Strict 2-group”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed square”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed n-cube”. 《nLab》 (영어). 
• “2-crossed module”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed complex”. 《nLab》 (영어). 
• Porter, Timothy (2012년 3월 6일). “The crossed menagerie. An introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology” (PDF) (영어).