함수해석학 과 양자역학 에서 구보-마틴-슈윙거 상태 ([久保]-Martin-Schwinger狀態, 영어 : Kubo–Martin–Schwinger state , 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형 을 이룬 순수 또는 혼합 상태 이다.
바르샤바 대학교 의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, “warunek Kubo-Martina-Schwingera ”)
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
C* 대수
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
상태
ϕ
:
A
→
C
{\displaystyle \phi \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {C} }
양의 실수
β
∈
R
+
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}
군 준동형
α
:
(
R
,
+
)
→
Aut
(
A
)
{\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} ({\mathcal {A}})}
t
↦
α
t
{\displaystyle t\mapsto \alpha _{t}}
만약 임의의
A
,
B
∈
A
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}
연속 함수
F
A
B
:
R
+
i
[
0
,
β
]
→
C
{\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }
가 존재한다면,
ϕ
{\displaystyle \phi }
β
{\displaystyle \beta }
영어 : Kubo–Martin–Schwinger state at
β
{\displaystyle \beta }
)라고 한다.[1] :153, Definition 6.63
F
A
B
{\displaystyle F_{AB}}
치역 은 유계 집합 이다.
F
A
B
↾
(
R
+
i
(
0
,
β
)
)
{\displaystyle F_{AB}\upharpoonright \left(\mathbb {R} +\mathrm {i} (0,\beta )\right)}
정칙 함수 이다.
F
A
B
(
t
)
=
ϕ
(
A
α
t
B
)
∀
t
∈
R
{\displaystyle F_{AB}(t)=\phi (A\alpha _{t}B)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }
F
A
B
(
t
+
i
β
)
=
ϕ
(
(
α
t
B
)
A
)
∀
t
∈
R
{\displaystyle F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )=\phi ((\alpha _{t}B)A)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }
+
i
β
{\displaystyle +\mathrm {i} \beta }
물리학적으로,
F
A
B
{\displaystyle F_{AB}}
A
{\displaystyle A}
t
{\displaystyle t}
B
{\displaystyle B}
상관 함수 이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
유한 차원 복소수 힐베르트 공간
V
=
C
N
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{N}}
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
에르미트 행렬
H
{\displaystyle H}
해밀토니언 연산자 ”)양의 실수
β
∈
R
+
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}
그렇다면, 모든
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
복소수 행렬 로 구성된 폰 노이만 대수
B
(
V
,
V
)
=
Mat
(
n
,
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {B} (V,V)=\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}
자기 동형
α
t
:
A
↦
exp
(
i
t
H
)
A
exp
(
−
i
t
H
)
{\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}
이 존재하며, 이는 군 준동형
α
:
(
R
,
+
)
→
Aut
(
Mat
(
n
,
n
;
C
)
)
≅
U
(
n
)
{\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} (\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} ))\cong \operatorname {U} (n)}
α
:
t
↦
α
t
{\displaystyle \alpha \colon t\mapsto \alpha _{t}}
을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬
M
∈
Mat
(
n
,
n
;
C
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}
ω
(
A
;
β
)
=
tr
(
exp
(
−
β
H
)
A
)
tr
exp
(
−
β
H
)
{\displaystyle \omega (A;\beta )={\frac {\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}
및 함수
F
A
B
:
R
+
i
[
0
,
β
]
→
C
{\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }
F
A
B
(
z
)
=
ω
(
A
exp
(
i
z
H
)
B
;
β
)
{\displaystyle F_{AB}(z)=\omega (A\exp(\mathrm {i} zH)B;\beta )}
를 정의하자. 그렇다면
F
A
B
(
−
)
{\displaystyle F_{AB}(-)}
ω
(
−
;
β
)
{\displaystyle \omega (-;\beta )}
증명:
유일하게 자명하지 않은 것은
z
∈
R
+
i
β
{\displaystyle z\in \mathbb {R} +\mathrm {i} \beta }
대각합 의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
(
tr
exp
(
−
β
H
)
)
F
A
B
(
t
+
i
β
)
=
tr
(
exp
(
−
β
H
)
A
exp
(
i
(
t
+
i
β
)
H
)
B
exp
(
−
i
(
t
+
i
β
)
H
)
)
=
tr
(
exp
(
i
(
t
+
i
β
)
H
)
B
exp
(
−
i
(
t
+
i
β
)
H
)
exp
(
−
β
H
)
A
)
=
tr
(
exp
(
−
β
H
)
exp
(
i
t
H
)
B
exp
(
−
i
t
H
)
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\operatorname {tr} \exp(-\beta H)\right)F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\exp(-\beta H)A\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)\exp(\mathrm {i} tH)B\exp(-\mathrm {i} tH)A\right)\end{aligned}}}
보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간
V
{\displaystyle V}
조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소
H
:
D
→
V
{\displaystyle H\colon D\to V}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
유니터리 작용소
exp
(
i
t
H
)
:
V
→
V
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon V\to V}
V
{\displaystyle V}
유계 작용소 들은 1종 인자 대수
B
(
V
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}
α
t
:
A
↦
exp
(
i
t
H
)
A
exp
(
−
i
t
H
)
{\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}
는 그 위의 자기 동형 을 정의한다. 이 경우,
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
필요 충분 조건 은
exp
(
−
β
H
)
{\displaystyle \exp(-\beta H)}
대각합류 작용소 인지 여부이다.[1] :154, §6.4.4 [1] :154, §6.4.4
ϕ
H
:
A
↦
tr
(
exp
(
−
β
H
)
A
)
tr
exp
(
−
β
H
)
{\displaystyle \phi _{H}\colon A\mapsto {\frac {\operatorname {tr} (\exp(-\beta H)A)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}
줄리언 슈윙거 구보 료고 [2] :579, (4.13) 영어 : Paul Cecil Martin , 1931~2016)과 줄리언 슈윙거 [3]
“구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(영어 : Kubo–Martin–Schwinger boundary condition )이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.[4]
참고 문헌
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Dereziński, Jan; Pillet, Claude-Alain. “KMS states” (PDF) (영어). 외부 링크
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![{\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae05992b3662c056fc135d330b9b569a100199b)
