구보-마틴-슈윙거 상태

바르샤바 대학교의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, “warunek Kubo-Martina-Schwingera”)

함수해석학양자역학에서, 구보-마틴-슈윙거 상태([久保]-Martin-Schwinger狀態, 영어: Kubo–Martin–Schwinger state, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • C* 대수   (“관측 가능량 대수”)
  • 상태  
  • 양의 실수   (“온도의 역수”)
  • 군 준동형  ,   (“시간 변화”)

만약 임의의  에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수

 

가 존재한다면,   에서의 구보-마틴-슈윙거 상태(영어: Kubo–Martin–Schwinger state at  )라고 한다.[1]:153, Definition 6.63

  •  치역유계 집합이다.
  •  정칙 함수이다.
  •   (실수선에서의 경계 조건)
  •   (실수선 에서의 경계 조건)

물리학적으로,  는 현재 관측 가능량  와 시각  에서의 관측 가능량   사이의 상관 함수이다.

성질편집

구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉,  -구보-마틴-슈윙거 상태  에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:153, Proposition 6.64(2)

 

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 모든   복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수  를 생각하자. 이 위에는 자기 동형

 

이 존재하며, 이는 군 준동형

 
 

을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬  에 대하여 기브스 상태

 

및 함수

 
 

를 정의하자. 그렇다면  가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라  는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.

증명:

유일하게 자명하지 않은 것은  에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

 

보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간  (의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소  가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의  에 대하여 유니터리 작용소  를 정의할 수 있다.   위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수  를 이루며,

 

는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우,  에 대한, 온도의 역수  에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건 대각합류 작용소인지 여부이다.[1]:154, §6.4.4 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.[1]:154, §6.4.4

 

역사편집

구보 료고[2]:579, (4.13)와 폴 세실 마틴(영어: Paul Cecil Martin, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거[3]가 1950년대에 도입하였다.

“구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(영어: Kubo–Martin–Schwinger boundary condition)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.[4]

참고 문헌편집

  1. Dereziński, Jan; Gérard, Christian (2013). 《Mathematics of quantization and quantum fields》. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-110701111-3. 
  2. Kubo, Ryogo (1957). “Statistical-mechanical theory of irreversible processes I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems”. 《Journal of the Physical Society of Japan》 (영어) 12 (6): 570–586. Bibcode:1957JPSJ...12..570K. doi:10.1143/JPSJ.12.570. ISSN 0031-9015. 
  3. Martin, Paul Cecil; Schwinger, Julian Seymour (1959). “Theory of many-particle systems I”. 《Physical Review》 (영어) 115 (6): 1342–1373. Bibcode:1959PhRv..115.1342M. doi:10.1103/PhysRev.115.1342. 
  4. Haag, Rudolf; Winnink, M.; Hugenholtz, N. M. (1967). “On the equilibrium states in quantum statistical mechanics”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 5: 215–236. Bibcode:1967CMaPh...5..215H. doi:10.1007/BF01646342. ISSN 0010-3616. MR 0219283. 

외부 링크편집