상태 (함수해석학)

C* 대수 이론에서, 상태(狀態, 영어: state)는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 영어: Gelfand–Naimark–Segal construction, 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

정의편집

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수   위의 복소수 선형 변환

 

가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.[1]:27, §1.6[2]:107, Definition 6.2

  • 임의의  에 대하여,  이다.
  •  이다.

C* 대수  의 상태들의 공간을  라고 하자 (  연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, 영어: pure state)[1]:29, §1.6, 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,영어: mixed state)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

*-표현편집

C* 대수  *-표현(*-表現)  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  복소수 힐베르트 공간이다.
  •  복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의   에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,   (우변의  에르미트 수반)
    •   (항등 함수)

 의 *-표현  에 대하여, 만약  가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.[1]:29, §1.6

  의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

성질편집

기초적 성질편집

복소수 대합 대수   위의 상태  가 주어졌을 때, 에르미트 형식

 
 

을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

 

가 성립한다. 즉,

 

이다.

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.[1]:28, Proposition 1.6.2 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

증명:

우선, 다음 보조 정리를 증명하자.

C* 대수  자기 수반 원소   이라면,  자기 수반 원소  가 존재한다.
①의 증명:  로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수  를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간  에 대한  로 표현되며, 이 표현 아래  치역 의 부분 집합인 연속 함수  에 대응된다. 이 경우,  에 대응되는 원소가  이다.

임의의 C* 대수   위의 임의의 상태  를 생각하자.  이므로  이다. 즉,  임을 보이면 족하다.

임의의  에 대하여,  이라고 하자. 이제  임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

 

이다. 즉,  , 즉  임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.

분해편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

또한, 다음이 성립한다고 하자.

  • 임의의 자기 수반 원소  에 대하여,  

그렇다면,  는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.

 

여기서

  •    위의 두 상태이다.
  •  는 음이 아닌 두 실수이며,  이다.

정규 상태편집

폰 노이만 대수   위의 상태  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, 영어: normal state)라고 한다.[3]:§12.6, Theorem 12.14

  •  약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
  •  강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
  • 임의의 *-표현  에 대하여,  가 성립하는 대각합류 작용소  가 존재한다. (이 경우,   밀도 행렬이라고 한다.)

겔판트-나이마르크-시걸 구성편집

겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다.

C* 대수  의 상태  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현   및 그 속의 순환 벡터  가 존재한다.[1]:28, Theorem 1.6.3
 
② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현  ,  에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환  이 존재한다.[1]:31, Exercise 1.6.B
 
 

즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.

구성:

구체적으로, 상태  에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.[4]:73, Theorem I.2.14 우선, 양쪽 아이디얼

 

를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간

 

이다. (위의 줄은 내적 공간완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

 

그 위의 *-표현은 다음과 같다.

 
 

그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

 

순수 상태 ⇔ 기약 *-표현편집

C* 대수  의 *-표현  가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현(영어: irreducible *-representation)이라고 한다.[1]:16, Exercise 1.3.D

  •  
  • 임의의 닫힌 부분 벡터 공간  에 대하여, 만약  라면,   가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.[1]:30, Theorem 1.6.6

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임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간   및 모든   복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수  를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬  를 생각하자.

 
 

또한,  의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자. 그렇다면, 함수

 
 

  위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은   ( 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

 

이다.

역사편집

상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나,[5] 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(영어: Irving Ezra Segal)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.[6]

참고 문헌편집

  1. Arveson, William (1976). 《An invitation to C*-algebras》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 39. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6371-5. ISBN 978-0-387-90176-3. ISSN 0072-5285. 
  2. Powers, Robert T. (1971). “Algebras of unbounded operators”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 21 (2): 84–124. MR 283580. Zbl 0214.14102. 
  3. Warner, Garth. 《C*-algebras》 (PDF) (영어). 
  4. Emch, G. (1972). 《Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory》. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-23900-3. 
  5. Gelfand, I.; Neumark, Mark A. (1943). “On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space”. 《Математический сборник》 (영어) 12 (2): 197–217. MR 9426. Zbl 0060.27006. 
  6. Segal, Irving Ezra (1947). “Irreducible representations of operator algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 53: 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5. 

외부 링크편집