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그로텐디크-리만-로흐 정리

알렉산더 그로텐디크가 그로텐디크-리만-로흐 정리에 대한 노트에 그린 낙서

대수기하학에서, 그로텐디크-리만-로흐 정리(定理, 영어: Grothendieck–Riemann–Roch theorem)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적인 일반화이다.

정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  •   위의 두 개의 준사영(영어: quasiprojective) 매끄러운 스킴   
  •  -스킴의 고유 사상  .

이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.

  •   또는   위의 저우 환  ,  . 여기에 유리수 계수를 취하여  를 정의할 수 있다.
    • 저우 환 사이의 밂 사상  . 이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상  가 존재한다.
    • 토드 특성류  ,  . 이는  접다발천 특성류  의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.
    • 천 지표  . (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
  •   또는   위의 연접층들의 범주  ,  
    •   위의 연접층의  에 대한 상  . 이는 왼쪽 완전 함자이다.
    •   위의 연접층의  에 대한 상  오른쪽 유도 함자  .
  •   위의 연접층들의 그로텐디크 군  . 이는 K이론에서 0차 K군이다.
    • 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉,  .
    • 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합  를 정의할 수 있다.

정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.

 

그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 그로텐디크-리만-로흐 정리라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

 

역사편집

알렉산더 그로텐디크가 1956년 경 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. 장피에르 세르아르망 보렐은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958). “Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck)”. 《Bulletin de la Société mathématique de France》 (프랑스어) 86: 97–136. ISSN 0037-9484. MR 0116022. Zbl 0091.33004. 

외부 링크편집

같이 보기편집