그로텐디크-리만-로흐 정리
대수기하학에서 그로텐디크-리만-로흐 정리(定理, 영어: Grothendieck–Riemann–Roch theorem)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적인 일반화이다.
정의 편집
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.
- 또는 위의 저우 환 , . 여기에 유리수 계수를 취하여 를 정의할 수 있다.
- 또는 위의 연접층들의 범주 ,
- 위의 연접층들의 그로텐디크 군 . 이는 K이론에서 0차 K군이다.
- 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, .
- 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 를 정의할 수 있다.
정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.
그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 그로텐디크-리만-로흐 정리라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.
역사 편집
알렉산더 그로텐디크가 1956년 경 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. 장피에르 세르와 아르망 보렐은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.[1]
참고 문헌 편집
- ↑ Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958). “Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck)”. 《Bulletin de la Société mathématique de France》 (프랑스어) 86: 97–136. ISSN 0037-9484. MR 0116022. Zbl 0091.33004.
외부 링크 편집
- “Riemann-Roch theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Grothendieck-Riemann-Roch theorem”. 《nLab》 (영어).
- “How does one understand GRR?” (영어). Math Overflow.
- “Applications of Grothendieck-Riemann-Roch” (영어). Math Overflow.
- “How does measure ramification and Grothendieck-Riemann-Roch” (영어). Math Overflow.
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