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리만-로흐 정리

대수기하학에서, 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의편집

 콤팩트 리만 곡면이라고 하자.   위의 인자 의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자  는 다음과 같은 꼴이다.

  ( ,  )

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

 .

   위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.)  극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이  이고, 그 차수가 각각  라고 하자. 영점들이  이고, 그 차수가 각각  라고 하자. 그렇다면  의 인자를 다음과 같이 정의한다.

 .

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자  에 대하여,  의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수  들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을  라고 하자.

   위의 인자이고,  표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 .

여기서   오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus)  로 쓰면

 

이다.

선다발의 경우편집

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면   위에 정칙 선다발  이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (  계수 돌보 코호몰로지)   을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을  로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

(여기서   오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

 

따라서,  에 대응하는 인자류가  라고 한다면

 
 

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면   위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

 

여기서

  •   의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
  • 정칙 벡터 다발의 차수는  이다. 여기서   의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

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 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원  는 다음과 같다.

종수              의 생성원 ( )
0 (리만 구) 1 2 3 4 5 6  
1 (타원 곡선) 1 1 2 3 4 5 타원 함수  
2 1 1 1 2 3 4
3 1 1 1 1 2 3

 이며  인 경우, 특수한 점에서  가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는  이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어,  인 경우  인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

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리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수 인 콤팩트 리만 곡면표준 인자  의 차수가  임을 보일 수 있다.

  1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉,  이다. 물론  이다.
  2.  으로 놓자. 그렇다면  이다. 즉,  이다.
  3.  로 놓자. 그렇다면  이다. 즉,  이다.

예를 들어,  인 경우인 리만 구  를 생각하자. 이 경우, 각 차수  에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류  가 존재하며, 그 단면의 차원은

 
 

이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.

  • 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우,  이다. 이는 상수 함수  에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수상수 함수 밖에 없다.)
  • 2차 선다발은 정칙 접다발  이다. (예를 들어, 벡터장   에서  가 된다.) 이 경우,  이며, 그 기저 이다.
  • −2차 선다발은 표준 선다발  이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식   에서  가 된다.) 이 경우,  이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면  이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량  로 주어진다.
  • 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는  이다.

곡면 리만-로흐 정리편집

대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.[1]:362–363 대수적으로 닫힌 체  에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체)   위에 베유 인자  가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

여기서   표준 인자이고,  는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며,   산술종수이다.

일반화편집

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사편집

 
구스타프 로흐

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항  를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.[2] 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.[3] 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

참고 문헌편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Riemann, Bernhard (1857). “Theorie der Abel'schen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1857 (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345. 
  3. Roch, Gustav (1865). “Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1865 (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345. 

외부 링크편집