리만-로흐 정리

대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의

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 콤팩트 리만 곡면이라고 하자.   위의 인자 의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자  는 다음과 같은 꼴이다.

  ( ,  )

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

 .

   위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.)  극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이  이고, 그 차수가 각각  라고 하자. 영점들이  이고, 그 차수가 각각  라고 하자. 그렇다면  의 인자를 다음과 같이 정의한다.

 .

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자  에 대하여,  의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수  들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을  라고 하자.

   위의 인자이고,  표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 .

여기서   오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus)  로 쓰면

 

이다.

선다발의 경우

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인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면   위에 정칙 선다발  이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (  계수 돌보 코호몰로지)   을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을  로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

(여기서   오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

 

따라서,  에 대응하는 인자류가  라고 한다면

 
 

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면   위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

 

여기서

  •   의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
  • 정칙 벡터 다발의 차수는  이다. 여기서   의 올별 최고차 외대수로 구성된 정칙 선다발이다.

 바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원  는 다음과 같다.

종수              의 생성원 ( )
0 (리만 구) 1 2 3 4 5 6  
1 (타원 곡선) 1 1 2 3 4 5 타원 함수  
2 1 1 1 2 3 4
3 1 1 1 1 2 3

 이며  인 경우, 특수한 점에서  가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는  이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어,  인 경우  인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수 인 콤팩트 리만 곡면표준 인자  의 차수가  임을 보일 수 있다.

  1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉,  이다. 물론  이다.
  2.  으로 놓자. 그렇다면  이다. 즉,  이다.
  3.  로 놓자. 그렇다면  이다. 즉,  이다.

예를 들어,  인 경우인 리만 구  를 생각하자. 이 경우, 각 차수  에 대하여 정확히 한 개의 선다발 동형류  가 존재하며, 그 단면의 차원은

 
 

이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.

  • 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우,  이다. 이는 상수 함수  에 의하여 생성된다. (다시 말해, 리만 구 저체 위의 정칙 함수상수 함수 밖에 없다.)
  • 2차 선다발은 정칙 접다발  이다. (예를 들어, 벡터장   에서  가 된다.) 이 경우,  이며, 그 기저 이다.
  • −2차 선다발은 표준 선다발  이다. (예를 들어, 복소수 미분 형식   에서  가 된다.) 이 경우,  이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면  이며, 돌보 코호몰로지에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량  로 주어진다.
  • 1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는  이다.

곡면 리만-로흐 정리

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대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.[1]:362–363 대수적으로 닫힌 체  에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체)   위에 베유 인자  가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

여기서   표준 인자이고,  는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며,   산술종수이다.

일반화

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곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사

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구스타프 로흐

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항  를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.[2] 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.[3] 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

같이 보기

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각주

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  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Riemann, Bernhard (1857). “Theorie der Abel'schen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1857 (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345. 
  3. Roch, Gustav (1865). “Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1865 (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345. 

외부 링크

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