X
{\displaystyle X}
리만 곡면 이라고 하고,
E
→
X
{\displaystyle E\to X}
인자류
[
D
]
{\displaystyle [D]}
선다발 이라고 하자. 그렇다면
χ
(
E
)
=
h
0
(
E
)
−
h
1
(
E
)
{\displaystyle \chi (E)=h^{0}(E)-h^{1}(E)}
ch
(
E
)
=
1
+
c
1
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=1+c_{1}(E)}
Td
(
X
)
=
1
+
c
1
(
X
)
/
2
{\displaystyle \operatorname {Td} (X)=1+c_{1}(X)/2}
이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는
h
0
(
E
)
−
h
1
(
E
)
=
∫
X
(
c
1
(
E
)
+
c
1
(
X
)
/
2
)
{\displaystyle h^{0}(E)-h^{1}(E)=\int _{X}(c_{1}(E)+c_{1}(X)/2)}
이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류 는
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
1
(
X
)
{\displaystyle c_{1}(X)}
X
{\displaystyle X}
오일러 지표
∫
X
c
1
(
X
)
=
χ
(
X
)
=
2
−
2
g
{\displaystyle \int _{X}c_{1}(X)=\chi (X)=2-2g}
이다. 여기서
g
{\displaystyle g}
X
{\displaystyle X}
∫
X
c
1
(
E
)
=
deg
D
{\displaystyle \int _{X}c_{1}(E)=\deg D}
이다. 또한,
h
0
(
E
)
=
I
(
D
)
{\displaystyle h^{0}(E)=I(D)}
이고, 세르 쌍대성 에 의하여
h
1
(
E
)
=
h
0
(
O
(
K
)
⊗
E
−
1
)
=
I
(
K
−
D
)
{\displaystyle h^{1}(E)=h^{0}({\mathcal {O}}(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)}
(
K
{\displaystyle K}
표준 선다발 의 인자)이므로, 리만-로흐 정리
I
(
D
)
−
I
(
K
−
D
)
=
deg
D
+
1
−
g
{\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g}
를 얻는다.
복소수
n
{\displaystyle n}
켈러 다양체
M
{\displaystyle M}
오일러 지표 는 돌보 코호몰로지 를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,
χ
(
M
)
=
∑
p
,
q
(
−
1
)
p
+
q
h
p
,
q
(
M
)
=
∑
n
(
−
1
)
p
χ
(
⋀
p
T
C
∗
M
)
{\displaystyle \chi (M)=\sum _{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum _{n}(-1)^{p}\chi \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)}
이다. 여기서
h
p
,
q
(
M
)
{\displaystyle h^{p,q}(M)}
호지 수 이며,
T
C
∗
M
{\displaystyle T_{\mathbb {C} }^{*}M}
M
{\displaystyle M}
공변접다발 이다.
분할 원리(영어 : splitting principle )에 따라,
T
C
M
{\displaystyle T_{\mathbb {C} }M}
선다발 들의 1차 천 특성류 가
(
x
i
)
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle (x_{i})_{i=1,\dots ,n}}
라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는
−
x
i
{\displaystyle -x_{i}}
⋀
p
T
C
∗
M
{\displaystyle \bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M}
의 천 지표는 다음과 같다.
ch
(
⋀
p
T
C
∗
M
)
=
∑
I
⊆
{
1
,
2
,
…
,
n
}
|
I
|
=
p
∏
i
∈
I
exp
(
−
x
i
)
{\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\sum _{I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}^{|I|=p}\prod _{i\in I}\exp(-x_{i})}
즉,
∑
p
=
0
n
(
−
1
)
p
ch
(
⋀
p
T
C
∗
M
)
=
∏
i
=
1
n
(
1
−
exp
(
−
x
i
)
)
{\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\prod _{i=1}^{n}(1-\exp(-x_{i}))}
이다. 따라서,
M
{\displaystyle M}
χ
(
M
)
=
∫
M
Td
(
T
M
)
∑
p
=
0
n
(
−
1
)
p
ch
(
⋀
p
T
C
∗
M
)
=
∫
M
∏
i
=
1
n
x
i
1
−
exp
(
−
x
i
)
(
1
−
exp
(
−
x
i
)
)
=
∫
M
∏
i
=
1
n
x
i
=
∫
M
c
n
(
T
M
)
{\displaystyle \chi (M)=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)\sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}(1-\exp(-x_{i}))=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\int _{M}c_{n}(TM)}
즉,
M
{\displaystyle M}
천 수 이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류 와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.
↑ Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). “Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 (영어) 40 (2): 110–114. doi :10.1073/pnas.40.2.110 . ISSN 0027-8424 .
![{\displaystyle [D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4bcb25d77a0de74082c849178200b8cf1340b4)
