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대수적 위상수학에서, 천 지표([陳]指標, 영어: Chern character)는 복소수 벡터 다발에 대응되는 유리수 계수 특성류이다. 위상 K이론에서 (유리수 계수) 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

정의편집

위상 공간  가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군

 

은 유리수 벡터 공간이다. 이 경우,

 

가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉,  의 임의의 기저  를 잡으면

 

인데,

 

로 정의하자. (만약  가 유한 차원이라면, 즉 만약  유한 집합이라면,  이다.)

분할 원리를 통한 정의편집

  위의 복소수 선다발  천 지표는 1차 천 특성류의 (형식적) 지수 함수다. 즉, 다음과 같다.

 

일반적인 복소수 벡터 다발은 분할 원리에 따라 선다발의 합  인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.

 

직접적 정의편집

분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다.

 

여기서  는 유리수 계수  천 특성류이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.)

천-베유 이론을 통한 정의편집

만약  매끄러운 다양체이며, 그 위의  차원 복소수 매끄러운 벡터 다발  코쥘 접속  를 가졌을 경우, 천-베유 준동형을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다.

 

여기서

  •   리만 곡률이며,  값 2차 미분 형식이다.
  •    속의 형식적 지수 함수이다. 즉,   성분은 합성하고, 2차 미분 형식 성분은 쐐기곱을 취한다. (만약  가 추가로 콤팩트 공간이라면  차 초과의 베티 수가 0이므로 이 급수는 유한하다.)
  •   에서   성분의 대각합을 취하는 연산이다.
  •  드람 코호몰로지에서 미분 형식에 대응하는 코호몰로지류를 취하는 연산이다.

성질편집

천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

 

즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발에 대하여 다음이 성립한다.

 
 

또한, 임의의 벡터 다발 짧은 완전열

 

에 대하여 다음이 성립한다.

 

참고 문헌편집

외부 링크편집