아티야-싱어 지표 정리
미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.[1][2][3]:§10–11[4][5][6][7]:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500[8][9] 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.
정의
편집이 차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, 가 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. 위의 타원 복합체
의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.
이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 는 프레드홀름 지표이다.
타원 복합체의 위상 지표(영어: topological index)는 다음과 같다.[7]:Theorem 12.2
여기서
이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.
아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.
여기서, 이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)
에 대하여, 이를 타원 복합체
로 간주하면, 다음을 얻는다.
예
편집수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.
오일러 지표
편집이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체
에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)
를 얻는다.
계산:
히르체브루흐-리만-로흐 정리
편집아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. 이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체
에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 의 코호몰로지의 오일러 지표
이고, 그 위상 지표는
이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.
계산:
가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.
디랙 연산자
편집이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발
을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자
는 다음과 같이 작용한다.
이에 따라, 디랙 연산자 의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.
여기서 는 디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus 에이 햇 지너스[*])라고 불리는 특성류로,
이다. 여기서 는 폰트랴긴 특성류이고, 는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 의 고윳값들
이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.
역사
편집마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.[10][11][12][13][14] 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.[15] 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.[16][17][18]
1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.[19][20] 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.[21] 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.
각주
편집- ↑ 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 8월 26일에 확인함.
- ↑ 지동표 (1983년 11월 1일). 《국소적 형태의 Atiyah-Singer 지표이론》. 민음사. ISBN 89-374-3509-8.
- ↑ 조용승 (1999년 4월 20일). 《다양체의 미분위상수학》. 아르케. ISBN 978-89-88791-11-0. 2017년 1월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 10일에 확인함.
- ↑ 김홍종 (1996). 〈6. 아티야-싱어의 지표 이론〉. 《이론물리의 수학적 접근》. 대우학술총서 공동연구 37. 민음사. 163–188쪽. ISBN 89-37445-34-4.
- ↑ Shanahan, Patrick (1978). 《The Atiyah–Singer index theorem: an introduction》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 638. Springer. doi:10.1007/BFb0068264. ISBN 978-3-540-08660-4. ISSN 0075-8434.
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- ↑ Alvarez-Gaumé, Luis (1984년 3월). “Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem”. 《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》 (영어) 124 (1–3): 29–45. doi:10.1016/0378-4371(84)90224-3.
- ↑ Getzler, Ezra (1986). “A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem” (PDF). 《Topology》 25 (1): 111–117. doi:10.1016/0040-9383(86)90008-X. MR 836727. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 8월 9일에 확인함.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Atiyah-Singer index theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Atiyah-Singer index theorem”. 《nLab》 (영어).
- “Analytical index”. 《nLab》 (영어).
- “Topological index”. 《nLab》 (영어).