끈 군

대수적 위상수학과 이론물리학에서 끈 군(-群, 영어: string group)은 스핀 군과 유사하지만, 3차 호모토피 군이 자명한 위상군이다. 이는 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 프레셰 리 군으로 존재한다. 이에 대응하는 리 대수는 유한 차원의 L∞-대수로 여길 수 있다.

정의

임의의 콤팩트 단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에

$\mu \in \bigwedge ^{3}{\mathfrak {g}}^{*}$

$\mu (x,y,z)=K([x,y],z)$

를 정의할 수 있다. 여기서 $K(-,-)$는 킬링 형식이다.

끈 2-리 대수는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같다.

${\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})=\mathbb {R} [1]\oplus {\mathfrak {g}}$

코쥘 쌍대성에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같다.

$\mathbb {R} [y]\otimes \bigwedge {\mathfrak {g}}^{*}$

$\deg y=2$

$\deg {\mathfrak {g}}^{*}=1$

이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다.

$\mathrm {d} y=\mu$

이에 대하여 대응되는 위상군을 끈 군이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 $G$의 경우

$\pi _{0}(G)=\pi _{1}(G)=\pi _{2}(G)=0$

$\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$

이므로, 이는 화이트헤드 탑

$\dotsb \to \operatorname {String} (G)\to G\to 0$

의 일부를 이룬다. 특히, $G=\operatorname {Spin} (n)$의 경우, 이는 직교군

$\pi _{0}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z} /2$

$\pi _{1}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z} /2$

$\pi _{2}(\operatorname {O} (n))=0$

$\pi _{3}(\operatorname {O} (n))=\mathbb {Z}$

의 화이트헤드 탑

$\dotsb \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to \operatorname {O} (n)$

의 한 성분을 이룬다.

2-군으로서의 구성

일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 군 $G$
• 군 $H$
• 군 준동형 $\rho \colon G\to \operatorname {Aut} (H)$
• $H$계수의 $G$의 3차 코호몰로지류 $\alpha \in \operatorname {H} ^{3}(G;H)$. 여기서 $H$는 $\rho$를 통하여 $G$-가군으로 간주한다.

이제,

$H=\operatorname {U} (1)$

$\rho \colon G\to \operatorname {Aut} (H)$

$\rho \colon g\mapsto \operatorname {id} _{H}$

를 생각하자. 천-사이먼스 형식으로부터, 어떤 1차원 격자

$\Lambda \subseteq \operatorname {H} ^{3}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {u}}(1))$

로부터 코호몰로지 사상

$\Lambda \hookrightarrow \operatorname {H} ^{3}(G;\operatorname {U} (1))$

을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 $k$에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 $G_{k}$를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 리 군을 정의하지 못한다.^{:Theorem 1}

끈 군 $\operatorname {String} (G)$이 존재하며, 이는 짧은 완전열

$0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (G)\to G\to 0$

을 갖는다. 여기서 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(\mathbb {Z} ,2)$는 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{\infty }$로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다.

프레셰 리 군으로서의 구성

단일 연결 단순 콤팩트 리 군 $G$에 대하여, 끈군 $\operatorname {String} (G)$는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다.

구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 유니터리 군 $\operatorname {PU} (H)$에 노름 위상을 주면, 이는 $\operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)$를 이룬다. 이제, 호모토피 군

$\mathbb {Z} \cong \operatorname {H} ^{3}(G)$

의 생성원

$\alpha \in \operatorname {H} ^{3}(G)$

을 고르면, 이를 표현하는 주다발

$\operatorname {PU} (H)\to P\to G$

를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상

$\phi \colon \operatorname {Aut} (P)\to \operatorname {Diff} (G)$

이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수

${\mathsf {L}}\colon G\to \operatorname {Diff} (G)$

${\mathsf {L}}_{g}\colon h\mapsto gh$

를 갖는다. 즉

$\operatorname {Aut} (P)\to \operatorname {Diff} (G)\leftarrow G$

이다. 그렇다면, 끈 군은 다음과 같다.

$\operatorname {String} (G)=\{f\in \operatorname {Aut} (P)\colon \exists g\in G\colon \phi (f)={\mathsf {L}}_{g}\}$

프레셰 교차 가군으로서의 구성

끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다. 이 교차 가군 $(G',H,\rho ,d)$은 구체적으로 다음과 같다.

• $G'=\mathrm {P} G$ (매끄러운 함수 $[0,2\pi ]\to G$의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군)
• $H={\hat {\Omega }}_{k}G$ ($k$차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군)
• $\rho \colon G'\to \operatorname {Aut} (H)$는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
• $d\colon H\to G'$는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 ${\hat {\Omega }}_{k}G\twoheadrightarrow \Omega G$과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 $\Omega G\hookrightarrow PG$을 합성한 것이다.

외부 링크

• “String group”. 《nLab》 (영어). 
• “String Lie 2-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “String 2-group”. 《nLab》 (영어). 
• Baez, John C. “Higher gauge theory and the string group” (PDF) (영어).