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부분 정의 함수의 예
단사 부분 정의 함수의 예

수학에서, 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 부분 함수(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의편집

집합   가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  에서  로 가는 부분 정의 함수는 정의역   부분 집합이며, 공역 함수  이다. 이들의 집합을  로 표기하자.

 

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

 
 

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

  • 부분 정의 함수  
  • 점을 보존하는 함수  
  • 함수  

이 경우

 

이다. 특히,  는 지수 집합  와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서편집

  부분 정의 함수들의 집합을  라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

 

그렇다면  부분 순서 집합을 이룬다.

기수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  는 정의역의 크기  미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.[1]:211, Definition VII.6.1

 

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질편집

조합론적 성질편집

 크기는 다음과 같다.

 

(이는  ,  가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

 크기는 다음과 같다.

 

순서론적 성질편집

극대·극소 원소편집

 의 (유일한) 최소 원소정의역공집합인 유일한 함수이다.  극대 원소 함수  이다.

반사슬 조건편집

만약  가산 집합이라면,  가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합  ,   및 기수  가 주어졌다고 하고,

 

라고 하자. 그렇다면,   -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼편집

임의의 기수   포괄적 순서 아이디얼  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼상향 원순서 집합이므로 상한  가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.[1]:211, Lemma VII.6.2

  • 만약  라면,  이다. 즉,  는 (  전체에 정의된) 함수이다.

증명:

임의의  에 대하여,  에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합   공종 집합이다. 따라서  가 존재하며, 특히  이자  이다.

  • 만약  라면,  이다. 즉,  전사 함수이다.

증명:

임의의  에 대하여,  치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합   공종 집합이다. 따라서  가 존재하며, 특히  이자  이다.

범주론적 성질편집

다음과 같은 범주  를 생각하자.

  •  의 대상은 집합이다.
  • 두 집합  ,   사이의 사상  은 부분 정의 함수  이다.

그렇다면,  점을 가진 집합의 범주  동치이다.[2]:10

 

다음과 같은 범주  를 생각하자.

  •  의 대상은 집합이다.
  • 두 집합  ,   사이의 사상  은 단사 부분 정의 함수  이다. (즉, 이는  의 부분 집합과  의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면  는 스스로의 반대 범주동치이다.[3]:289, Exercise 5.7.3

 

강제법적 성질편집

(편의상, 강제법공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC가산 표준 추이적 모형    이 주어졌다고 하자. 그렇다면   속에서  을 구성할 수 있다. 그렇다면,   포괄적 순서 아이디얼  를 추가한 강제법 모형  를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.[1]:§VII.5

구체적으로,  에 대하여  이자  ,  이라고 놓자. ( 절대적이다.) 또한

 

라고 하자. 즉,

 

이라고 하자. (여기서  순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

 

임을 보일 수 있다[1]:208, §VII.5 ( 연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여  이며, 또한  포괄성 조건에 따라서 사실   전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

 
 

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

  •  
  •  
  •  

따라서,    개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

 

이다.[1]:205, Lemma VII.5.3

이제,   속에서  가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서  의 크기는    속에서 같으며, 따라서

 

이다.

참고 문헌편집

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함. 
  2. Schröder, Lutz (2001). 〈Categories: a free tour〉. Koslowski, Jürgen; Melton, Austin. 《Categorical perspectives》. Trends in Mathematics (영어). Birkhäuser. 1–27쪽. ISBN 978-1-4612-7117-8. Zbl 0985.18001. doi:10.1007/978-1-4612-1370-3_1. 
  3. Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44179-7. Zbl 0843.18001. doi:10.1017/CBO9780511525865. 

외부 링크편집