브로카르 점

기하학에서 브로카르 점(영어: Brocard points)은 주어진 삼각형으로 결정되는 한 쌍의 등각 켤레점이다.[1][2]

제1 브로카르 점

정의편집

(유향) 평면 위의 삼각형  가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점  가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형  제1 브로카르 점(영어: first Brocard point)  라고 한다.

 

(유향) 평면 위의 삼각형  가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점  이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형  제2 브로카르 점(영어: second Brocard point)  이라고 한다.

 

제1·제2 브로카르 점을 통틀어 브로카르 점이라고 한다.

증명:

등식   가 점  를 지나며 점  에서 변  에 접하는 원 위의 (점   또는  가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식   가 점  를 지나며 점  에서 변  에 접하는 원 위의 (점   또는  가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변  는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점  에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다.

이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다.

성질편집

브로카르 각편집

삼각형  의 제1·제2 브로카르 점  ,  등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형  브로카르 각(영어: Brocard angle)  라고 한다. 삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 길이를  ,  ,  , 넓이를  라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.[2]:266–267, §[XVI.]434–435

 
 
 

증명:

유향 선분  의 연장선과 점  를 지나며 점  에서 변  에 접하는 원의 교점을  라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라

 

이므로   는 평행한다. 점  ,  를 지나는 변  의 수선의 발을  ,  라고 하자. 그렇다면 접현각의 성질에 따라

 

이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

또한

 
 
 

이므로

 

이다.

그 밖의 항등식들은 이 두 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다.

모든 삼각형의 브로카르 각은   이하이며, 정확히  일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).[1]:104, §10.2

 

보다 일반적으로, 볼록 다각형   ( ) 및 그 내부에 속하는 점  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다.[3]

 

증명:

모든  에 대하여  이라고 가정하자. 그렇다면 모든  에 대하여,  인 선분   위의 점  가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

 

또한 산술-기하 평균 부등식옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다.

 

따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든  에 대하여  이며,

 

이다. 또한

 

이다. 따라서 볼록 다각형  은 정다각형이며  는 그 중심이다.

삼각형  의 제1·제2 브로카르 점을  ,  , 외심 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:106, §10.2

 
 

증명:

유향 선분  ,  ,  의 연장선과 외접원의 교점을  ,  ,  이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라

 
 
 
 

이다. 따라서 삼각형  는 삼각형  을 외심  에 대하여  만큼 회전한 상이며,  는 삼각형  의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점  를 외심  에 대하여  만큼 회전한 상은 원래 삼각형  의 제2 브로카르 점  과 같다.

삼각형  의 제1 브로카르 점  를 지나는 변  ,  ,  의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 제2 브로카르 점  을 지나는 변  ,  ,  의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형   합동이며, 둘 모두 원래 삼각형  닮음이다.[2]:269, §[XVI.]441

증명:

사각형  ,  ,  내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라

 
 
 

이다. 따라서  는 삼각형  의 제1 브로카르 점이다. 또한

 
 
 

이므로 삼각형   는 닮음이다. 닮음비는

 

이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다.

삼각형  의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점  와 제1 브로카르 점  를 지나는 직선  , 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점  를 지나는 대칭 중선  , 남은 꼭짓점  를 지나는 중선  는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점  와 제2 브로카르 점  을 지나는 직선  , 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점  를 지나는 대칭 중선  , 남은 꼭짓점  를 지나는 중선  는 한 점에서 만난다.[1]:122, §10.6

증명:

각 꼭짓점을 지나는 직선  ,  ,  의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라

 
 

이다. 체바 정리에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다.

 

제1 브로카르 점  의 정의에 따라

 
 

이다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

 
 

삼각형   가 닮음이므로

 

이다.

제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원편집

삼각형  의 각각 제1·제2 브로카르 점   을 지나는 두 체바 직선   ,   ,   의 교점  ,  ,  를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형  제1 브로카르 삼각형(영어: first Brocard triangle)  라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  는 각각 삼각형의 변  ,  ,  의 수직 이등분선 위의 점이다.

증명:

이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형  ,  ,  의 꼭짓점이기 때문이다.

삼각형  대칭 중점  외심   사이의 선분  를 지름으로 하는 원을 삼각형  브로카르 원(영어: Brocard circle)이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원동심원이다. 삼각형  의 제1·제2 브로카르 점  ,  은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형  외접원이다.

증명:

삼각형  의 변  ,  ,  의 중점을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면  와 변   사이의 거리는

 

이다. 이는 대칭 중점  와 변   사이의 거리와 같으므로   는 평행한다.   의 수선이므로  의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점  는 브로카르 원 위의 점이다.

마찬가지로  와 변  는 평행하며  는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서

 

이다. 즉, 제1 브로카르 점  는 브로카르 원 위의 점이다.

제1 브로카르 삼각형  는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형  닮음이다.[1]:112, §10.4

증명:

이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

 
 

제1 브로카르 삼각형  와 원래 삼각형  무게 중심은 일치한다.[1]:112, §10.4 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변  ,  ,  의 중점  ,  ,  를 지나는 원래 삼각형의 변  ,  ,  의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심  에서 만난다.[1]:117, §10.4

증명:

 를 변  에 대하여 반사시킨 상을  이라고 하자. 그렇다면

 
 

이므로 삼각형   은 닮음이다. 마찬가지로

 
 

이므로 삼각형   는 닮음이다. 또한  이므로 삼각형   는 합동이다. 따라서

 

이다. 선분  ,  을 각각 점  ,  에 대하여 시계 방향  만큼 회전시킨 상은 모두 변  와 평행하므로,   은 평행한다. 따라서 사각형  평행 사변형이며, 대각선   는 그 교점  에서 서로를 이등분한다. 선분  는 삼각형   의 공통 꼭짓점  를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형   의 무게 중심은 일치한다. 선분   의 공통 중점을  라고 하자. 그렇다면 선분  는 삼각형   의 공통 꼭짓점  를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형   의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형   의 무게 중심은 일치한다.

삼각형  의 외심  와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  에 무게 중심  를 닮음 중심으로 하고  을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심  과 점  ,  ,  이다.  ,  ,  는 각각 삼각형의 변  ,  ,  의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로   ,   ,   는 평행한다. 따라서  ,  ,  은 각각 삼각형의 변  ,  ,  의 수선이다.

제2 브로카르 삼각형편집

삼각형  의 꼭짓점   또는  를 지나며 꼭짓점  에서 각각 변   또는  에 접하는 두 원의 교점  , 꼭짓점   또는  를 지나며 꼭짓점  에서 각각 변   또는  에 접하는 두 원의 교점  , 꼭짓점   또는  를 지나며 꼭짓점  에서 각각 변   또는  에 접하는 두 원의 교점  를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형  제2 브로카르 삼각형(영어: second Brocard triangle)  라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  는 각각 대칭 중선  ,  ,   위의 점이다.

증명:

접현각의 성질에 따라

 
 

이므로 삼각형   는 닮음이다. 따라서  와 삼각형의 두 변  ,   사이의 거리의 비는  이다. 즉,  는 대칭 중선   위의 점이다.

브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형  외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  는 각각 선분  ,  ,  를 연장한 외접원의 현의 중점이다.[1]:118, §10.4

증명:

편의상 삼각형  가 예각 삼각형이며 대칭 중점  가 선분   위의 점이며 외심  가 삼각형  의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면

 

이므로  ,  ,  ,  는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점  는 브로카르 원 위의 점이다.

유향 선분  의 연장선과 외접원의 교점을  라고 하자. 그렇다면  가 현  의 수선이므로  는 현  의 중점이다.

슈타이너 점과 타리 점편집

삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변  ,  ,  의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형  슈타이너 점(영어: Steiner point)  라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변  ,  ,  의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형  타리 점(영어: Tarry point)  라고 한다 (가스통 타리, 프랑스어: Gaston Tarry). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.[1]:119–120, §10.5, (a)

증명:

꼭짓점  ,  를 지나는 변  ,  의 평행선의 교점을  라고 하자. 그렇다면 삼각형   가 닮음이므로

 

이다. 따라서  는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라

 

이다.   가 평행하므로   와 평행한다.

 의 대척점을  라고 하자. 그렇다면 선분  가 외접원의 지름이므로  ,  ,  는 각각  ,  ,  의 수선이다. 따라서  ,  ,   ,  ,  의 수선이다.

슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.[1]:120, §10.5, (a)

삼각형  의 대칭 중점  는 제1 브로카르 삼각형  의 슈타이너 점이다.[1]:121, §10.5, (b)

증명:

우선, 제1 브로카르 삼각형  의 제1 브로카르 삼각형  의 각 변  ,  ,  가 원래 삼각형  와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라   가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형  와 제1 브로카르 삼각형  를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형  와 그 제1 브로카르 삼각형  를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서  에서  로 회전한 각의 크기와  에서  로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다.  에서  로 회전한 각의 크기는  에서  로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은  ),  에서  로 회전한 각의 크기는  에서  로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서   는 평행한다.

이제 대칭 중점  가 제1 브로카르 삼각형  의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형  의 외심을  라고 하자. 대칭성에 따라   가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는   가 수직이며   가 수직이며 또한   가 평행하므로 성립한다.

노이베르크 원편집

삼각형  의 브로카르 각을  라고 하자. 그렇다면 각각 선분  ,  ,  를 한 변으로 하는 삼각형  ,  ,  의 브로카르 각이  가 되게 만드는 점  ,  ,  의 자취는 각각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 원과 이를 각각 변  ,  ,  에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점  ,  ,  를 지나는 3개의 원을 삼각형  노이베르크 원(영어: Neuberg circles)이라고 한다 (요제프 노이베르크, 룩셈부르크어: Joseph Neuberg).

증명:

삼각형  와 음이 아닌 실수  이 주어졌다고 하자. 삼각형의 변  의 중점을  라고 하자. 변  의 수직 이등분선에서 변  에 대하여  와 같은 쪽이며

 

인 점  를 취하자. 아폴로니오스 정리에 따라

 

이다. 또한 삼각형  의 넓이는 다음과 같다.

 

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

 

만약 삼각형  의 브로카르 각이  라면,

 

이다. 즉,  는 중심이  , 반지름이

 

인 원 위의 점이다. 반대로, 만약

 

이라면,

 

이므로 삼각형  의 브로카르 각은  이다.

꼭짓점  ,  ,  를 지나는 노이베르크 원의 중심  ,  ,  는 각각 삼각형의 변  ,  ,  의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심  ,  ,  와 삼각형의 변  ,  ,   사이의 거리는 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480

 
 
 

노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480

 
 
 

꼭짓점  를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점  ,  를 중심으로 하며 선분  를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점  를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점  ,  를 중심으로 하며 선분  를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점  를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점  ,  를 중심으로 하며 선분  를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분   및 변화하는 점  에 대한 (꼭짓점  를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점  ,  과 선분  는 두 정삼각형  ,  를 이룬다.[2]:289, §[XVII.]484

역사편집

오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레(독일어: August Leopold Crelle)가 1816년에 도입하였다.[3]:495 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비(독일어: Karl Friedrich Andreas Jacobi)를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다.[3]:495 앙리 브로카르(프랑스어: Henri Brocard)가 1875년에 재발견하였다.[3]:495

각주편집

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
  2. Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 
  3. Besenyei, Ádám (2015년 5월). “The Brocard Angle and a Geometrical Gem from Dmitriev and Dynkin”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 122 (5): 495–499. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.495. 

외부 링크편집