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단사층

(비순환층에서 넘어옴)

이론에서, 단사층(單射層, 영어: injective sheaf, 프랑스어: faisceau injectif)은 의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의편집

위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 들의 아벨 범주  는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다.   위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층  에 대하여, 만약 임의의

  •  
  •  의 부분층  
  • 층 준동형  

가 주어졌을 때, 항상  인 층 준동형  가 존재한다면,  를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로

이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

섬세층편집

위상 공간  과 그 열린 덮개   및 아벨 군층  이 주어졌다고 하자.  에 종속된  단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  에 대하여, 자기 사상  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  •  에 대하여,  
  •  에 대하여,  유한 집합이다.
  •  는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간   위의 아벨 군층  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다.

  • 자기 사상의 층  이 물렁한 층이다.
  • 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

물렁한 층편집

위상 공간   위의 아벨 군층  에 대하여, 그 에탈레 공간  을 정의할 수 있다.  의 임의의 닫힌집합  에 대하여, 임의의 연속 함수

 

에 대하여, 만약  라면     위의 단면이라고 하며, 단면 집합을  라고 한다. 만약  파라콤팩트 공간일 경우, 이는  의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

 

과 같다.

위상 공간   위의 아벨 군층  에 대하여, 만약 닫힌집합   위의 모든 단면을   전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면,  물렁한 층이라고 한다. 위상 공간   위의 아벨 군층  에 대하여, 만약 콤팩트 집합   위의 모든 단면을   전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면,  콤팩트 물렁한 층(영어: c-soft sheaf)이라고 한다.

말랑한 층편집

위상 공간   위의, 구체적 범주  의 값을 갖는 층  에 대하여, 임의의 두 열린집합  에 대하여 제한 사상

 

전사 함수라면,  말랑한 층이라고 한다.[1]:67, Exercise 1.16[2]:137 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(프랑스어: flasque, 영어: flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

비순환층편집

위상 공간   위의 아벨 군층  에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면,  비순환층이라고 한다.

 

물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군  이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질편집

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.

단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간  ,   사이에 연속 함수  가 주어졌을 때,   위의 말랑한 층  의 직상   역시 말랑한 층이다.[1]:67, Exercise 1.16d 위상 공간  열린집합   및 말랑한 층  에 대하여, 제약층   역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.[1]:67, Exercise 1.16a

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다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.

그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

드람 코호몰로지의 계산편집

드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체  위의 상수층  미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

 

미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

 

이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(영어: hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Tennison, B. R. (1975). 《Sheaf theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 20. Cambridge University Press. 

외부 링크편집