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교환자 부분군

(아벨화에서 넘어옴)

군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의편집

 교환자 부분군  은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

 
 

여기서

 

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

유도열편집

 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup)  은 다음과 같이 정의된다.

 

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

 

이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다.

유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.

  •  
  • 따름 순서수  에 대하여,
     
  • 극한 순서수  에 대하여,
     

이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.

  • 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
  • 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
  • 어떤 자연수  에 대하여  인 군  가해군이라고 한다.
  • 어떤 순서수  에 대하여  인 군  준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다.

정의에 따라

아벨 군가해군 ⊊ 준 아벨 군

임을 알 수 있다.

아벨화편집

 가 주어졌을 때, 교환자 부분군  은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군

 

아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주  에서 아벨 군군 준동형의 범주  로 가는 함자를 이룬다.

 

아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자

 

가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

 

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지

 

와 같다.

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일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.

G G(1)
대칭군   교대군  
교대군   클라인 4원군  
사원수군    
크기 8의 정이면체군    

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간  기본군  의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지  이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형이다.

참고 문헌편집

  • Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  • Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

외부 링크편집

같이 보기편집