유계형 집합

수학에서, 유계형 집합(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.

정의편집

집합   위의 유계형(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족  이다.

  • 덮개이다. 즉,  이다.
  • 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
    •  
    • (하집합성) 임의의   에 대하여,  
    • (상향성) 임의의  에 대하여,  

 의 원소를 유계 집합이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합  유계형 집합이라고 한다.

같은 집합   위의 두 유계형  ,  에 대하여, 만약  이라면,  가 더 엉성하다(영어: coarser)고 하며, 반대로  이 더 섬세하다(영어: finer)고 한다.

두 유계형 집합  ,   사이의 함수  가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(영어: bounded map)라고 한다.

  • 유계 집합의 은 유계 집합이다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.

성질편집

임의의 유계형 집합  에서,  유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 범주준토포스이다.[1]:256, Example III.10(b)

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집합편집

집합  무한 기수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기  미만인 부분 집합들의 족

 

은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

  •  인 경우,  -유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는   위의 가장 엉성한 유계형이다.
  •  인 경우, 모든 부분 집합 -유계 집합이다. 이는   위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약  가 유한 집합일 경우  들은  에 관계없이 모두 일치하며, 이는   위의 유일한 유계형이다.

위상 공간편집

T1 공간  에서, 폐포콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

거리 공간편집

거리 공간  에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

 

여기서

 

 지름이다.

위상 벡터 공간편집

위상체   위의 위상 벡터 공간   위의 폰 노이만 유계형(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다.

 

여기서

  •  영벡터근방 필터이다.
  •   가역원군이다.

두 위상 벡터 공간  ,   사이의 연속 선형 변환  은 폰 노이만 유계 함수이다.

증명:

 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방  에 대하여,   열린 근방이다.  가 폰 노이만 유계 집합이므로,   가 존재한다. 따라서  이며, 따라서   역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약  거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며  국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환  에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

순서 집합편집

 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족

 

은 유계형을 이룬다. 마찬가지로,  하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족

 

은 유계형을 이룬다. 만약  상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어,  공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족

 

역시 유계형을 이룬다.

측도 공간편집

측도 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

역사편집

유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지[*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네[*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지[*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지[*]의 어미)의 합성어이다.

참고 문헌편집

  1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst (1986). “Cartesian closed categories, quasitopoi and topological universes”. 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) 27 (2): 235–257. MR 857544. Zbl 0601.18003. 

외부 링크편집