수학 에서 유계형 집합 (有界型集合, 영어 : bornological set )은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합 이다.
집합
X
{\displaystyle X}
유계형 (有界型, 영어 : bornology )은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족
B
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
덮개 이다. 즉,
⋃
B
=
X
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {B}}=X}
순서 아이디얼 이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
∅
∈
B
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}
(하집합 성) 임의의
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
S
∩
B
∈
B
{\displaystyle S\cap B\in {\mathcal {B}}}
(상향 성) 임의의
B
,
B
′
∈
B
{\displaystyle B,B'\in {\mathcal {B}}}
B
∪
B
′
∈
B
{\displaystyle B\cup B'\in {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
유계 집합
유계형을 갖춘 집합
(
X
,
B
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}
유계형 집합 이라고 한다.
같은 집합
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
′
{\displaystyle {\mathcal {B}}'}
B
⊆
B
′
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
엉성하다 (영어 : coarser )고 하며, 반대로
B
′
{\displaystyle {\mathcal {B}}'}
섬세하다 (영어 : finer )고 한다.
두 유계형 집합
(
X
,
B
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {B}}_{X})}
(
Y
,
B
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {B}}_{Y})}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
유계형 함수 (영어 : bounded map )라고 한다.
유계 집합의 상 은 유계 집합이다. 즉, 임의의
B
X
∈
B
X
{\displaystyle B_{X}\in {\mathcal {B}}_{X}}
f
(
B
X
)
∈
B
Y
{\displaystyle f(B_{X})\in {\mathcal {B}}_{Y}}
임의의 유계형 집합
(
X
,
B
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}
X
{\displaystyle X}
유한 부분 집합 은 항상 유계 집합이다.
유계형 집합과 유계형 함수들의 범주 는 준토포스 이다.[ 1] :256, Example III.10(b)
집합
X
{\displaystyle X}
무한 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
크기 가
κ
{\displaystyle \kappa }
부분 집합 들의 족
P
<
κ
(
X
)
=
{
S
⊆
X
:
|
S
|
<
κ
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa \}}
은 유계형 집합을 이룬다.
특수한 경우로 다음이 있다.
κ
=
ℵ
0
{\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}
P
<
ℵ
0
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\aleph _{0}}(X)}
유한 부분 집합이다. 이는
X
{\displaystyle X}
κ
>
|
S
|
{\displaystyle \kappa >|S|}
부분 집합 이
P
<
κ
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}_{<\kappa }(X)}
X
{\displaystyle X}
특히, 만약
X
{\displaystyle X}
B
<
κ
=
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{<\kappa }={\mathcal {P}}(X)}
κ
{\displaystyle \kappa }
X
{\displaystyle X}
T1 공간
X
{\displaystyle X}
폐포 가 콤팩트 집합 인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
B
=
{
S
⊆
X
:
diam
d
S
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X\colon \operatorname {diam} _{d}S<\infty \}}
여기서
diam
S
=
sup
s
,
t
∈
S
d
(
s
,
t
)
{\displaystyle \operatorname {diam} S=\sup _{s,t\in S}d(s,t)}
는
S
{\displaystyle S}
지름 이다.
위상체
K
{\displaystyle K}
위상 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
폰 노이만 유계형 (영어 : von Neumann bornology )은 다음과 같다.
B
∈
B
⟺
∀
U
∈
N
0
∃
r
∈
K
×
:
B
⊆
r
U
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall U\in {\mathcal {N}}_{0}\exists r\in K^{\times }\colon B\subseteq rU}
여기서
N
0
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}}
영벡터 의 근방 필터 이다.
K
×
=
K
∖
{
0
}
{\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}}
K
{\displaystyle K}
가역원군 이다.두 위상 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
연속 선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약
V
{\displaystyle V}
거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간 이며
W
{\displaystyle W}
국소 볼록 공간 인 경우, 선형 변환
V
→
W
{\displaystyle V\to W}
동치 이다.
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
상향 원순서 집합 이라고 하자. 그렇다면, 상계 를 갖는 부분 집합 들의 족
B
ub
(
X
)
=
{
S
⊆
X
:
∃
a
∈
X
∀
s
∈
S
:
a
≳
s
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\gtrsim s\}}
은 유계형을 이룬다. 마찬가지로,
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
하향 원순서 집합 이라면, 하계 를 갖는 부분 집합 들의 족
B
lb
(
X
)
=
{
S
⊆
X
:
∃
a
∈
X
∀
s
∈
S
:
a
≲
s
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X\colon \exists a\in X\forall s\in S\colon a\lesssim s\}}
은 유계형을 이룬다. 만약
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
상향 원순서 집합 이자 하향 원순서 집합 이라면 (예를 들어,
X
{\displaystyle X}
공집합 이 아닌 전순서 집합 이라면), 상계 와 하계 를 둘 다 갖는 부분 집합 들의 족
B
b
=
B
ub
∩
B
lb
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{b}}={\mathcal {B}}_{\text{ub}}\cap {\mathcal {B}}_{\text{lb}}}
역시 유계형을 이룬다.
측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
동치 이다.
μ
{\displaystyle \mu }
완비 측도 이며, 모든 한원소 집합 은 가측 집합 이자 그 측도 가 0이다.측도 가 0인 가측 집합 들의 족
{
S
∈
Σ
:
μ
(
S
)
=
0
}
{\displaystyle \{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}}
유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어 : George Mackey )가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키 가 "유계형"(프랑스어 : bornologie 보르놀로지[* ] )이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어 : borné 보르네[* ] (유계 집합 ) + 프랑스어 : -ologie 올로지[* ] (위상 프랑스어 : topologie 토폴로지[* ] 의 어미)의 합성어이다.
