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작은 군의 목록

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크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.

목차

용어 및 표기법편집

  • Zn: 크기가  순환군. Cn이나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
  • Dihn: 크기가  정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다.
  • Sn: 크기가  대칭군.
  • An: 크기가  교대군.
  • Dicn: 크기가 4n의 쌍순환군.

G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때  반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.

두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.

아벨 군편집

유한 아벨 군은 전부 순환군직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기 부분군 성질 마디 그래프
1 자명군 = Z1 = S1 = A2 - 여러 가지 성질들이 자명하게 성립
2 Z2 = S2 = Dih1 - 단순군
3 Z3 = A3 - 단순군
4 Z4 Z2   
클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2 Z2 (3) 가장 작은 비순환군
5 Z5 - 단순군
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
7 Z7 - 단순군
8 Z8 Z4 , Z2  
Z4 ×Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)  
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응
9 Z9 Z3  
Z32 Z3 (4)  
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
11 Z11 - 단순군
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (2), Z3, Z2 (3)  
13 Z13 - 단순군
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)  
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)  
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2  
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)  
17 Z17 순환군, 단순군
18 Z18 = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 순환군
Z6 × Z3 = Z32 × Z2 Z6, Z3, Z2
19 Z19 순환군, 단순군
20 Z20 = Z5 × Z4 Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 순환군
Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2
21 Z21 = Z7 × Z3 Z7, Z3 순환군
22 Z22 = Z11 × Z2 Z11, Z2 순환군
23 Z23 순환군, 단순군
24 Z24 = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 순환군
Z12 × Z2 = Z6 × Z4
= Z4 × Z3 × Z2
Z12, Z6, Z4, Z3, Z2
Z6 × Z22 Z6, Z3, Z2
25 Z25 Z5 순환군
Z52 Z5
26 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 순환군
27 Z27 Z9, Z3 순환군
Z9×Z3 Z9, Z3
Z33 Z3
28 Z28 = Z7 × Z4 Z14, Z7, Z4, Z2 순환군
Z14 × Z2 = Z7 × Z22 Z14, Z7, Z4, Z2
29 Z29 순환군, 단순군
30 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3
= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2
Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 순환군
31 Z31 순환군, 단순군

비아벨 군편집

크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기 부분군 성질 마디 그래프
6 S3 = Dih3 Z3 , Z2 (3) 가장 작은 비아벨 군
8

Dih4

Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
사원수군, Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 가장 작은 데데킨트 군
10 D5 Z5 , Z2 (5)
12 D6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리, 쉴로브의 정리 참조)
Dic3 = Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14 Dih7 Z7, Z2 (7)
16 Dih8 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11)
Q16 = Dic4
Q8 × Z2   데데킨트 군
준정이면체군(quasidihedral group)  
크기 16의 이와사와 군  
Z4 ⋊ Z4
파울리 행렬로 생성되는 군
G4,4 = Z22 ⋊ Z4
18 Dih9 정이면체군
S3×Z3
(Z3 × Z3)⋊ Z2
20 Q20 = Dic5 = <5,2,2>
Z5 ⋊ Z4
Dih10 = Dih5 × Z2
21 Z7 ⋊ Z3 홀수 크기의 가장 작은 비아벨군
22 Dih11
24 Z3 ⋊ Z8
SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3
Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8
Z4 × S3
Dih12
Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4)
(Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4
Dih4 × Z3 멱영군
Q8 × Z3 멱영군
S4 쉴로브 부분군정규 부분군이 없음
A4 × Z2
D12× Z2
26 Dih13
27 Z32 ⋊ Z3 멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3
Z9 ⋊ Z3 멱영군
28 Dic7 = Z7 ⋊ Z4
Dih14
30 Z5 × S3
Dih15
Z3 × Dih5

참고 문헌편집

외부 링크편집