작은 군의 목록
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크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.
용어 및 표기법
편집- Zn: 크기가 인 순환군. Cn이나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
- Dihn: 크기가 인 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다.
- Sn: 크기가 인 대칭군.
- An: 크기가 인 교대군.
- Dicn: 크기가 4n의 쌍순환군.
G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.
두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.
아벨 군
편집유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
크기 | 군 | 부분군 | 성질 | 마디 그래프 |
---|---|---|---|---|
1 | 자명군 = Z1 = S1 = A2 | - | 여러 가지 성질들이 자명하게 성립 | |
2 | Z2 = S2 = Dih1 | - | 단순군 | |
3 | Z3 = A3 | - | 단순군 | |
4 | Z4 | Z2 | ||
클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2 | Z2 (3) | 가장 작은 비순환군 | ||
5 | Z5 | - | 단순군 | |
6 | Z6 = Z3 × Z2 | Z3 , Z2 | ||
7 | Z7 | - | 단순군 | |
8 | Z8 | Z4 , Z2 | ||
Z4 ×Z2 | Z22, Z4 (2), Z2 (3) | |||
Z23 | Z22 (7) , Z2 (7) | 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응 | ||
9 | Z9 | Z3 | ||
Z32 | Z3 (4) | |||
10 | Z10 = Z5 × Z2 | Z5 , Z2 | ||
11 | Z11 | - | 단순군 | |
12 | Z12 = Z4 × Z3 | Z6 , Z4 , Z3 , Z2 | ||
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 | Z6 (2), Z3, Z2 (3) | |||
13 | Z13 | - | 단순군 | |
14 | Z14 = Z7 × Z2 | Z7 , Z2 | ||
15 | Z15 = Z5 × Z3 | Z5 , Z3 | ||
16 | Z16 | Z8 , Z4 , Z2 | ||
Z24 | Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) | |||
Z4 × Z22 | Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) | |||
Z8 × Z2 | Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 | |||
Z42 | Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) | |||
17 | Z17 | 순환군, 단순군 | ||
18 | Z18 = Z9 × Z2 | Z9, Z6, Z3, Z2 | 순환군 | |
Z6 × Z3 = Z32 × Z2 | Z6, Z3, Z2 | |||
19 | Z19 | 순환군, 단순군 | ||
20 | Z20 = Z5 × Z4 | Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 | 순환군 | |
Z10 × Z2 = Z5 × Z22 | Z5, Z2 | |||
21 | Z21 = Z7 × Z3 | Z7, Z3 | 순환군 | |
22 | Z22 = Z11 × Z2 | Z11, Z2 | 순환군 | |
23 | Z23 | – | 순환군, 단순군 | |
24 | Z24 = Z8 × Z3 | Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 | 순환군 | |
Z12 × Z2 = Z6 × Z4 = Z4 × Z3 × Z2 |
Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 | |||
Z6 × Z22 | Z6, Z3, Z2 | |||
25 | Z25 | Z5 | 순환군 | |
Z52 | Z5 | |||
26 | Z26 = Z13 × Z2 | Z13, Z2 | 순환군 | |
27 | Z27 | Z9, Z3 | 순환군 | |
Z9×Z3 | Z9, Z3 | |||
Z33 | Z3 | |||
28 | Z28 = Z7 × Z4 | Z14, Z7, Z4, Z2 | 순환군 | |
Z14 × Z2 = Z7 × Z22 | Z14, Z7, Z4, Z2 | |||
29 | Z29 | – | 순환군, 단순군 | |
30 | Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3 = Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2 |
Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 | 순환군 | |
31 | Z31 | – | 순환군, 단순군 |
비아벨 군
편집크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
크기 | 군 | 부분군 | 성질 | 마디 그래프 |
---|---|---|---|---|
6 | S3 = Dih3 | Z3 , Z2 (3) | 가장 작은 비아벨 군 | |
8 |
Dih4 |
Z4, Z22 (2) , Z2 (5) | ||
사원수군, Q8 = Dic2 | Z4 (3), Z2 | 가장 작은 데데킨트 군 | ||
10 | D5 | Z5 , Z2 (5) | ||
12 | D6 = Dih3 × Z2 | Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) | ||
A4 | Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) | 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조) | ||
Dic3 = Z3 ⋊ Z4 | Z2, Z3, Z4 (3), Z6 | |||
14 | Dih7 | Z7, Z2 (7) | ||
16 | Dih8 | Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) | ||
Dih4 × Z2 | Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11) | |||
Q16 = Dic4 | ||||
Q8 × Z2 | 데데킨트 군 | |||
준정이면체군(quasidihedral group) | ||||
크기 16의 이와사와 군 | ||||
Z4 ⋊ Z4 | ||||
파울리 행렬로 생성되는 군 | ||||
G4,4 = Z22 ⋊ Z4 | ||||
18 | Dih9 | 정이면체군 | ||
S3×Z3 | ||||
(Z3 × Z3)⋊ Z2 | ||||
20 | Q20 = Dic5 = <5,2,2> | |||
Z5 ⋊ Z4 | ||||
Dih10 = Dih5 × Z2 | ||||
21 | Z7 ⋊ Z3 | 홀수 크기의 가장 작은 비아벨군 | ||
22 | Dih11 | |||
24 | Z3 ⋊ Z8 | |||
SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3 | ||||
Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8 | ||||
Z4 × S3 | ||||
Dih12 | ||||
Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4) | ||||
(Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4 | ||||
Dih4 × Z3 | 멱영군 | |||
Q8 × Z3 | 멱영군 | |||
S4 | 쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음 | |||
A4 × Z2 | ||||
D12× Z2 | ||||
26 | Dih13 | |||
27 | Z32 ⋊ Z3 | 멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3 | ||
Z9 ⋊ Z3 | 멱영군 | |||
28 | Dic7 = Z7 ⋊ Z4 | |||
Dih14 | ||||
30 | Z5 × S3 | |||
Dih15 | ||||
Z3 × Dih5 |
같이 보기
편집참고 문헌
편집- Wild, Marcel (2005년 1월). “The groups of order sixteen made easy” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어) 112 (1): 20–31. JSTOR 30037381. Zbl 1119.20300. 2006년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2006년 9월 23일에 확인함.
- Hall, Marshall, Jr.; James K. Senior (1964). 《The groups of order 2n (n ≤ 6)》 (영어). Macmillan. LCCN 64016861. MR 168631. Zbl 0192.11701.
외부 링크
편집- Pedersen, John. “Groups of small order” (영어). 2014년 11월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 27일에 확인함.
- Besche, H. U.; B. Eick, E. O’Brien. “The Small Groups library” (영어). 2012년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 3월 5일에 확인함.
- Schaps, Malka. “Database of group character tables” (영어). 2013년 12월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 27일에 확인함.
- “Groups of order 1”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 2”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 3”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 4”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 5”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 6”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 7”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 8”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 9”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 10”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 12”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 14”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 15”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 16”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 18”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 20”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 24”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 27”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 30”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 32”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 36”. 《Groupprops》 (영어).
- “Groups of order 40”. 《Groupprops》 (영어).