위상수학 에서 틀다발 (영어 : frame bundle )은 임의의 벡터 다발 에 대응되는, 일반 선형군 을 올로 삼는 특별한 주다발 이다.[1] :§4.3, 121–131 연관 벡터 다발 로서 재구성된다.
n
{\displaystyle n}
실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
k
{\displaystyle k}
틀 (영어 : frame )은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상
f
:
R
n
→
V
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V}
f
:
0
↦
0
{\displaystyle f\colon 0\mapsto 0}
의
k
{\displaystyle k}
제트
j
0
k
{\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}}
f
{\displaystyle f}
선형 변환 일 필요는 없다.) 이제,
k
{\displaystyle k}
Frame
k
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(V)}
k
{\displaystyle k}
제트 군
Frame
k
(
R
k
)
=
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {Jet} (n,k)}
오른쪽 작용 이 존재한다.
(
j
0
k
f
)
⋅
(
j
0
k
g
)
=
j
0
k
(
f
∘
g
)
∀
j
0
k
f
∈
Frame
k
(
V
)
,
j
0
k
g
∈
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall \mathrm {j} _{0}^{k}f\in \operatorname {Frame} _{k}(V),\;\mathrm {j} _{0}^{k}g\in \operatorname {Jet} (n,k)}
특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환
f
:
R
n
→
V
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V}
[1] :121, §4.3
위상 공간
X
{\displaystyle X}
n
{\displaystyle n}
벡터 다발
π
:
E
↠
X
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
E
x
{\displaystyle E_{x}}
실수 벡터 공간 을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
F
n
E
=
⨆
x
∈
X
Frame
k
(
E
x
)
{\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})}
이 위에는 제트 군
Jet
(
n
,
k
)
=
Frame
k
(
R
n
)
{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{n})}
오른쪽 작용 이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.
j
0
k
f
⋅
j
0
k
g
=
j
0
k
(
f
∘
g
)
∀
x
∈
X
,
f
∈
Frame
k
(
E
x
)
,
g
∈
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}f\cdot \mathrm {j} _{0}^{k}g=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall x\in X,\;f\in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}),\;g\in \operatorname {Jet} (n,k)}
이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로,
E
{\displaystyle E}
(
U
i
,
ϕ
i
)
{\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}
U
i
⊆
X
{\displaystyle U_{i}\subseteq X}
위상 동형
ϕ
i
:
π
−
1
(
U
i
)
→
U
i
×
R
k
{\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {R} ^{k}}
으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수
⨆
x
∈
U
i
Frame
k
(
E
x
)
→
U
i
×
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})\to U_{i}\times \operatorname {Jet} (n,k)}
를 정의할 수 있으며, 이를 통해
⨆
x
∈
U
i
Frame
k
(
E
x
)
{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})}
F
n
E
{\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E}
그렇다면, 자연스러운 사영 함수
F
n
E
↠
X
{\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E\twoheadrightarrow X}
(
ϕ
∈∈
Frame
k
(
E
x
)
)
↦
x
{\displaystyle (\phi \in \in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}))\mapsto x}
는
X
{\displaystyle X}
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}
올다발 을 이룬다. 또한,
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}
오른쪽 작용 을 통하여 이는
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}
주다발 을 이룬다. 이를
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
틀다발 (
k
{\displaystyle k}
영어 :
k
{\displaystyle k}
[2] :122, §12.12 [3] :Definition 3.2
흔히, 만약
k
{\displaystyle k}
F
E
=
F
1
E
{\displaystyle \mathrm {F} E=\mathrm {F} ^{1}E}
다양체
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
벡터 다발
π
:
E
↠
X
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
p
+
q
=
k
{\displaystyle p+q=k}
g
{\displaystyle g}
단면
g
∈
Γ
(
Sym
2
E
∗
)
{\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}E^{*})}
가 주어졌으며, 임의의
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
g
x
{\displaystyle g_{x}}
E
x
{\displaystyle E_{x}}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
비퇴화 이차 형식 을 이룬다고 하자.
이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
F
o
E
=
⨆
x
∈
X
Hilb
(
R
(
p
,
q
)
;
E
x
,
g
x
)
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {o} }E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Hilb} (\mathbb {R} ^{(p,q)};E_{x},g_{x})}
여기서,
R
p
,
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
민코프스키 공간 이다. 즉, 실수 벡터 공간
R
k
{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
p
2
−
x
p
+
1
2
−
⋯
−
x
k
2
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{k}^{2}}
Hilb
(
−
;
−
)
{\displaystyle \operatorname {Hilb} (-;-)}
유니터리 변환 (즉, 이차 형식 을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군
O
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}
O
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}
주다발 로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발 (直交-, 영어 : orthogonal frame bundle )이라고 한다.[2] :94, §10.11
위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래,
O
(
p
,
q
)
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}
특수 직교군
SO
(
p
,
q
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}
SO
(
p
,
q
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}
주다발 인 특수 직교 틀다발 (特殊直交-, 영어 : special orthogonal frame bundle )
F
SO
E
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {SO} }E}
위와 마찬가지로, 복소구조 가 주어진
2
n
{\displaystyle 2n}
벡터 다발
E
{\displaystyle E}
복소수 틀다발 (영어 : complex frame bundle )
F
C
E
{\displaystyle \mathrm {F} _{\mathbb {C} }E}
일반 선형군
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발 (영어 : unitary frame bundle )
F
U
E
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {U} }E}
U
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {U} (n)}
부호수
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
벡터 다발
E
{\displaystyle E}
O
(
p
,
q
;
R
)
⊆
GL
(
p
+
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {R} )}
F
O
E
⊆
F
E
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }E\subseteq \mathrm {F} E}
k
{\displaystyle k}
다양체
M
{\displaystyle M}
접다발
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
F
T
M
{\displaystyle \mathrm {FT} M}
GL
(
k
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )}
연관 벡터 다발 은 접다발
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
연관 다발 은 서로 일종의 역을 이룬다.
마찬가지로,
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
일반화 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
F
O
T
M
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}
O
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}
연관 벡터 다발 은 접다발
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
국소 미분 동형 사상
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
매끄러운 주다발 사상이 존재한다.
F
k
ϕ
:
F
k
M
→
F
k
N
{\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon \mathrm {F} ^{k}M\to \mathrm {F} ^{k}N}
F
k
ϕ
:
(
x
,
j
0
k
f
)
→
(
ϕ
(
x
)
,
j
0
k
(
T
x
ϕ
∘
f
)
)
(
x
∈
M
,
f
:
R
dim
M
→
T
x
M
)
{\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon (x,\mathrm {j} _{0}^{k}f)\to \left(\phi (x),\mathrm {j} _{0}^{k}(\mathrm {T} _{x}\phi \circ f)\right)\qquad (x\in M,\;f\colon \mathbb {R} ^{\dim M}\to \mathrm {T} _{x}M)}
이에 따라,
F
k
{\displaystyle \mathrm {F} ^{k}}
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체 와 국소 미분 동형 사상 들의 범주에서,
Jet
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}
매끄러운 주다발 을 갖춘
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체 와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자 를 이룬다.[3] :Defintion 3.8
일반화 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
F
O
T
M
{\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}
주접속
ω
{\displaystyle \omega }
그렇다면, 군 표현
O
(
p
,
q
;
R
)
→
T
x
M
⊗
T
x
∗
M
{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\to \mathrm {T} _{x}M\otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M}
선형 사상 을 정의할 수 있다.
κ
:
o
(
p
,
q
;
R
)
⊗
C
∞
(
M
;
R
)
→
Γ
(
T
M
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \kappa \colon {\mathfrak {o}}(p,q;\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
이에 따라, 틀다발의 주접속
ω
{\displaystyle \omega }
접다발 의 코쥘 접속
∇
:
Γ
(
T
M
)
→
Γ
(
T
M
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
κ
(
ω
(
X
)
)
=
∇
X
{\displaystyle \kappa (\omega (X))=\nabla X}
이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속 의 리만 곡률 은 틀다발의 주접속 의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는
κ
{\displaystyle \kappa }
반대로, 일반화 리만 다양체 의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속 )이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속
