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가환대수학에서, 크룰 정역(Krull整域, 영어: Krull domain) 또는 크룰 환(Krull環, 영어: Krull ring)은 아이디얼의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 정역이다. 데데킨트 정역의 고차원 일반화이다.

정의편집

임의의 정역  이 주어졌으며,  가 그 높이 1의 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • 만약  정규환이라면,  이며, 만약  뇌터 환이라면  이다.
  • 만약  뇌터 환이라면, 임의의  에 대하여  유한 집합이다.
  • 만약  정규 뇌터 환이라면,  에 대한 국소화  이산 값매김환이다. (이는 1차원 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이산 값매김환 조건과 동치이기 때문이다.)

그러나 위 세 성질은 임의의 정역에 대하여 성립하지 않는다.

크룰 정역은 위 세 성질들을 만족시키는 정역이다. 즉, 정역  가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다.

  •  높이 1의 소 아이디얼들의 집합을  라고 하자. 임의의  에 대하여, 국소화  이산 값매김환이다.
  • 국소화는 분수체의 부분환  으로 생각할 수 있다. 그렇다면  이다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면  유한 집합이다.

성질편집

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역 크룰 정역 데데킨트 정역
유일 인수 분해 정역 주 아이디얼 정역 유클리드 정역

크룰 정역  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 국소환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 크룰 환이다.
  •  의 (유일한 극대 아이디얼  에 대한) 완비화는 크룰 환이다.

정역  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 정역  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

만약  가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면,  뇌터 정역이며,  분수체   위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면,    속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)[1]나가타 마사요시[2] 가 증명하였다.

크룰 정역의 인자 이론편집

크룰 정역(의 스펙트럼) 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역   위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군 라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼소 아이디얼  주인자(영어: principal divisor)라고 하며, 이들은 아벨 군  를 이룬다. 크룰 정역   위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자(영어: locally principal Weil divisor)이다. 카르티에 인자들 역시 아벨 군  를 이룬다. 이에 따라 아벨 군의 포함 관계

 

가 존재한다.

인자군의 주인자군에 대한 몫군

 

 인자 유군이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군

 

 피카르 군이라고 한다. 이는   위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다.

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유일 인수 분해 정역   위의, 가산 무한 개의 변수의 다항식환  는 크룰 정역이지만, 뇌터 환이 아니다.

역사편집

볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 27: 249–256. MR 58583. 
  2. Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 29: 293–303. MR 0097388. 
  3. Krull, Wolfgang (1931). “Allgemeine Bewertungstheorie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 167: 160–196. JFM 58.0148.02. Zbl 0004.09802. doi:10.1515/crll.1932.167.160. 

외부 링크편집