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리만 기하학에서, 킬링 벡터장(Killing vector場, 영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다.[1]:214, 부록 C 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

목차

정의편집

킬링 벡터장편집

일반화 리만 다양체  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장  에 대하여, 리 미분

 

을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약

 

이 성립한다면,   킬링 벡터장  이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간선형 변환

 

이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

 을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.[2]:§3.3, (3.10)

 

여기서  공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건( )을 약화시킨 것이다.

 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군

 

을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수  를 이룬다.

킬링 지평선편집

일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장  가 주어졌을 때, 부분 집합   킬링 지평선(Killing地平線, 영어: Killing horizon)이라고 한다.[2]:§3.3 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

성질편집

정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

리 대수 구조편집

일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체  ,  에 대하여, 표준적으로

 

이다.

 개의 연결 성분을 갖는,  차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은   이하이다.[3]:443, §C.3 (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

위상 수학적 성질편집

콤팩트 리만 다양체  에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 만약  리치 곡률 텐서음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
  • 만약 모든 단면 곡률이 양수이며,  의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장  에 대하여,   이 존재한다.

조화 함수와의 관계편집

일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장  발산은 0이다.

 

유도:

 

 의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.[3]:442, (C.3.6)

 

유도:

리만 곡률 텐서의 정의에 따라

 

이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라

 

이다. 이제, 양변에  에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,

 

이다. 따라서,

 

이다.

특히,  라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.[3]:443, (C.3.9)

 

특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우  이며,  라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는  가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한  로렌츠 게이지 조건   역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.[4]

측지선에 대한 물리량의 보존편집

일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장  측지선

 
 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

즉, 킬링 벡터장  가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적  측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.

유도:

벡터장  

 

인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약  단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식

 

을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여

 

이다.

마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서  를 생각할 때,

 
 

이므로, 임의의 벡터장  에 대하여

 

이다. 따라서, 만약  가 킬링 벡터장이라면  는 공변 보존류이다.

표면 중력편집

킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장  가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수

 

가 존재하며, 이  를 킬링 지평선  표면 중력이라고 한다.

 

이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

 

위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로,  를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우,  는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.[2]:§3.3

  • 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의  와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
  • 우세 에너지 조건이 성립할 경우

킬링 지평선 근처의 기하편집

 차원 로런츠 다양체  의 킬링 벡터장  가 주어졌다고 하자. 또한,   에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉,  ). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계  를 정의할 수 있다.

 

여기서  양의 정부호 이차 형식이며,  이며, 또한     에만 의존하고,  에 의존하지 않는다. 이 경우,  궤도 공간 계량(軌道空間計量, 영어: orbit-space metric)이라고 한다.

일반화편집

킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발단면에 대하여 일반화할 수 있다.

킬링 텐서장과 킬링 스피너장편집

유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장  는 다음을 만족한다.

 
 

정칙 킬링 벡터장편집

켈러 다양체리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, 영어: holomorphic Killing vector field)라고 한다.[5]:239–244[6]:266–270 켈러 다양체의 접다발  정칙적 부분  과 반정칙적 부분  으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은  의 단면이다.

 가 켈러 다양체   위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

 

이에 따라,  는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 

여기서  킬링 퍼텐셜(영어: Killing potential)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

편집

공변 상수 벡터장 (즉,  인 벡터장  )은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체  의 킬링 벡터장   및 국소 좌표계  이 주어졌으며, 계량 텐서  의 성분이  에 의존하지 않는다고 하자.

 

그렇다면, 벡터장

 

은 킬링 벡터장이다.

유도:

벡터장

 

이 주어졌을 때,

 

이다. 그렇다면,

 

이다.

슈바르츠실트 계량편집

 차원 시공간의 슈바르츠실트 계량

 

에서,  는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는

 

이 되는 곳, 즉  이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은   대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

커 계량편집

마찬가지로, 3+1차원 커 계량

 
 

은 두 킬링 벡터

 
 

를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은

 

의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

민코프스키 공간편집

2차원 민코프스키 공간

 
 

에서, 킬링 벡터장

 

를 생각하자.[2]:(3.11) 이는

 

이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은

 

인데, 이는  에서 매끄럽지 않다.

역사편집

빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.[7]:167, §10

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(영어: Luther Pfahler Eisenhart, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"(영어: equations of Killing)이라고 지칭하였다.[8]:234, (70.2)

참고 문헌편집

  1. 권영헌; 윤달선 (2002). 《현대 기하학 입문》. 京文社. ISBN 978-89-7282535-7. 
  2. Chruściel, Piotr T.; Galloway, Gregory J.; Pollack, Daniel (2010년 10월). “Mathematical general relativity: a sampler”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 47 (4): 567–638. Bibcode:2010arXiv1004.1016C. ISSN 0273-0979. MR 2721040. Zbl 1205.83002. arXiv:1004.1016. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01304-5. 
  3. Wald, Robert M. (1984년 6월). 《General relativity》 (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022687033-5. Zbl 0549.53001. 
  4. Wald, Robert M. (1974년 9월 15일). “Black hole in a uniform magnetic field”. 《Physical Review D》 (영어) 10 (6): 1680–1685. ISSN 2470-0010. doi:10.1103/PhysRevD.10.1680. 
  5. Wess, Julius; Bagger, Jonathan (1992). 《Supersymmetry and supergravity》 (영어). Princeton University Press. Bibcode:1992susu.book.....W. ISBN 0-691-02530-4. 
  6. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2012년 4월). 《Supergravity》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2012supe.book.....F. ISBN 9780521194013. doi:10.1017/CBO9781139026833. 
  7. Killing, Wilhelm (1892). “Ueber die Grundlagen der Geometrie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 109: 121–186. ISSN 0075-4102. JFM 24.0496.02. doi:10.1515/crll.1892.109.121. 
  8. Eisenhart, Luther Pfahler (1926). 《Riemannian geometry》 (영어). Princeton University Press. JFM 52.0721.01. 

관련 항목편집

외부 링크편집