부분 정의 함수

수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 부분 함수(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

부분 정의 함수의 예

단사 부분 정의 함수의 예

정의

집합 $X$와 $Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$에서 $Y$로 가는 부분 정의 함수는 정의역 $\operatorname {dom} f$이 $X$의 부분 집합이며, 공역이 $Y$인 함수 $f$이다. 이들의 집합을 $\operatorname {Pfn} (X,Y)$로 표기하자.

$\operatorname {Pfn} (X,Y)=\bigsqcup _{A\subseteq X}Y^{A}$

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

$X_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{X}\}$

$Y_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{Y}\}$

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

• 부분 정의 함수 $f\colon X\to Y$
• 점을 보존하는 함수 $f_{\bullet }\colon X_{\bullet }\to Y_{\bullet }$
• 함수 $f_{\bullet }|_{X}\colon X\to Y_{\bullet }$

이 경우

$\operatorname {dom} f=f_{\bullet }^{-1}(Y)=f_{\bullet }^{-1}(Y_{\bullet }\setminus \{\bullet _{Y}\})$

이다. 특히, $\operatorname {Pfn} (X,Y)$는 지수 집합 $Y_{\bullet }^{X}$와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서

$X\to Y$ 부분 정의 함수들의 집합을 $\operatorname {Pfn} (X,Y)$라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

$f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|_{\operatorname {dom} f}=f\right)$

그렇다면 $\operatorname {Pfn} (X,Y)$는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$는 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.^{:211, Definition VII.6.1}

$\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}=\bigsqcup _{A\subseteq X}^{|A|<\kappa }Y^{A}$

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질

조합론적 성질

$\operatorname {Pfn} (X,Y)\cong Y_{\bullet }^{X}$의 크기는 다음과 같다.

$|\operatorname {Pfn} (X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum _{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}$

(이는 $X$, $Y$가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

$\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )$의 크기는 다음과 같다.

$|\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )|=\sum _{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}$

순서론적 성질

극대·극소 원소

$\operatorname {Pfn} (X,Y)$의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. $\operatorname {Pfn} (X,Y)$의 극대 원소는 $\operatorname {dom} f=X$인 함수 $f\in Y^{X}\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y)$이다.

반사슬 조건

만약 $Y$가 가산 집합이라면, $\operatorname {Pfn} (X,Y;\aleph _{0})$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 $X$, $Y$ 및 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하고,

$\lambda =(|Y|^{<\kappa })^{+}=\left(\sup _{\kappa '<\kappa }|Y|^{\kappa }\right)^{+}$

라고 하자. 그렇다면, $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$는 $\lambda$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼

임의의 기수 $\kappa \geq \aleph _{0}$ 및 $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\sup G\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.^{:211, Lemma VII.6.2}

• 만약 $\aleph _{0}\leq \kappa$라면, $\operatorname {dom} \sup G=X$이다. 즉, $\sup G\in Y^{X}$는 ($X$ 전체에 정의된) 함수이다.

증명:

임의의 $x\in X$에 대하여, $x$에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 $D_{x}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon x\in \operatorname {dom} f\}$는 $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_{x}$가 존재하며, 특히 $f\leq \sup G$이자 $x\in \operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} \sup G$이다.

• 만약 $\aleph _{0}\leq \kappa \leq |X|$라면, $\operatorname {im} \sup G=Y$이다. 즉, $\sup G\in Y^{X}$는 전사 함수이다.

증명:

임의의 $y\in Y$에 대하여, $y$가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 $D_{y}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon y\in \operatorname {im} f\}$는 $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_{y}$가 존재하며, 특히 $f\leq \sup G$이자 $y\in \operatorname {im} f\subseteq \operatorname {im} \sup G$이다.

범주론적 성질

다음과 같은 범주 $\operatorname {Set_{part}}$를 생각하자.

• $\operatorname {Set_{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$은 부분 정의 함수 $f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)$이다.

그렇다면, $\operatorname {Set_{part}}$는 점을 가진 집합의 범주 $\operatorname {Set} _{\bullet }$와 동치이다.^:10

$\operatorname {Set_{part}} \simeq \operatorname {Set} _{\bullet }$

다음과 같은 범주 $\operatorname {Set_{part,inj}}$를 생각하자.

• $\operatorname {Set_{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$은 단사 부분 정의 함수 $f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)$이다. (즉, 이는 $X$의 부분 집합과 $Y$의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 $\operatorname {Set_{part,inj}}$는 스스로의 반대 범주와 동치이다.^{:289, Exercise 5.7.3}

$\operatorname {Set_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }$

강제법적 성질

(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X,Y\in M$과 $\kappa \in \operatorname {Card} ^{M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $M$ 속에서 $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}\in M$을 구성할 수 있다. 그렇다면, $M$에 $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}$를 추가한 강제법 모형 $M[G]$를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.^:§VII.5

구체적으로, $S\in M$에 대하여 $X=S\times \mathbb {N}$이자 $Y=\{0,1\}$, $\kappa =\aleph _{0}$이라고 놓자. ($\aleph _{0}=\mathbb {N} =\omega$는 절대적이다.) 또한

$M\models |S|\geq \aleph _{2}$

라고 하자. 즉,

$|S|\geq \omega _{2}^{M}$

이라고 하자. (여기서 $\omega _{1}^{M}\in \operatorname {Ord} ^{M}=\operatorname {Ord} \cap M$은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

$M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}$

임을 보일 수 있다^{:208, §VII.5} (${\mathsf {CH}}$는 연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여 $\sup G\in G$이며, 또한 $\sup G$는 포괄성 조건에 따라서 사실 $X=S\times \mathbb {N}$ 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

$H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb {N}$

$H_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)$

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

• $H_{s}\not \in M$
• $s\neq t\implies H_{s}\neq H_{t}$
• $H_{s}\in M[G]$

따라서, $\{H_{s}\}_{s\in S}$는 $\mathbb {N}$의 $|S|$개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

$M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|$

이다.^{:205, Lemma VII.5.3}

이제, $M$ 속에서 $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 $|S|$의 크기는 $M$과 $M[G]$ 속에서 같으며, 따라서

$M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|>\aleph _{0}$

이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Partial function”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: many-to-one relation”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: partial function”. 《ProofWiki》 (영어).