브로카르 점
기하학에서 브로카르 점(영어: Brocard points)은 주어진 삼각형으로 결정되는 한 쌍의 등각 켤레점이다.[1][2]
정의 편집
(유향) 평면 위의 삼각형 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 의 제1 브로카르 점(영어: first Brocard point) 라고 한다.
(유향) 평면 위의 삼각형 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 의 제2 브로카르 점(영어: second Brocard point) 이라고 한다.
제1·제2 브로카르 점을 통틀어 브로카르 점이라고 한다.
증명:
등식 는 가 점 를 지나며 점 에서 변 에 접하는 원 위의 (점 또는 가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 는 가 점 를 지나며 점 에서 변 에 접하는 원 위의 (점 또는 가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변 는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점 에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다.
이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다.
성질 편집
브로카르 각 편집
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 의 브로카르 각(영어: Brocard angle) 라고 한다. 삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , , 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.[2]:266–267, §[XVI.]434–435
증명:
모든 삼각형의 브로카르 각은 이하이며, 정확히 일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).[1]:104, §10.2
보다 일반적으로, 볼록 다각형 ( ) 및 그 내부에 속하는 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다.[3]
증명:
모든 에 대하여 이라고 가정하자. 그렇다면 모든 에 대하여, 인 선분 위의 점 가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다.
따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 에 대하여 이며,
이다. 또한
이다. 따라서 볼록 다각형 은 정다각형이며 는 그 중심이다.
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점을 , , 외심을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:106, §10.2
증명:
유향 선분 , , 의 연장선과 외접원의 교점을 , , 이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 삼각형 는 삼각형 을 외심 에 대하여 만큼 회전한 상이며, 는 삼각형 의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점 를 외심 에 대하여 만큼 회전한 상은 원래 삼각형 의 제2 브로카르 점 과 같다.
삼각형 의 제1 브로카르 점 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하고, 제2 브로카르 점 을 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 와 은 합동이며, 둘 모두 원래 삼각형 와 닮음이다.[2]:269, §[XVI.]441
증명:
삼각형 의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 와 제1 브로카르 점 를 지나는 직선 , 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 와 제2 브로카르 점 을 지나는 직선 , 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다.[1]:122, §10.6
증명:
제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원 편집
삼각형 의 각각 제1·제2 브로카르 점 와 을 지나는 두 체바 직선 와 , 와 , 와 의 교점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 제1 브로카르 삼각형(영어: first Brocard triangle) 라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다.
증명:
이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 , , 의 꼭짓점이기 때문이다.
삼각형 의 대칭 중점 와 외심 사이의 선분 를 지름으로 하는 원을 삼각형 의 브로카르 원(영어: Brocard circle)이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 의 외접원이다.
증명:
삼각형 의 변 , , 의 중점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 와 변 사이의 거리는
이다. 이는 대칭 중점 와 변 사이의 거리와 같으므로 와 는 평행한다. 는 의 수선이므로 의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 는 브로카르 원 위의 점이다.
마찬가지로 와 변 는 평행하며 는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서
이다. 즉, 제1 브로카르 점 는 브로카르 원 위의 점이다.
제1 브로카르 삼각형 는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 와 닮음이다.[1]:112, §10.4
증명:
이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
제1 브로카르 삼각형 와 원래 삼각형 의 무게 중심은 일치한다.[1]:112, §10.4 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 , , 의 중점 , , 를 지나는 원래 삼각형의 변 , , 의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 에서 만난다.[1]:117, §10.4
증명:
점 를 변 에 대하여 반사시킨 상을 이라고 하자. 그렇다면
이므로 삼각형 와 은 닮음이다. 마찬가지로
이므로 삼각형 와 는 닮음이다. 또한 이므로 삼각형 와 는 합동이다. 따라서
이다. 선분 , 을 각각 점 , 에 대하여 시계 방향 만큼 회전시킨 상은 모두 변 와 평행하므로, 와 은 평행한다. 따라서 사각형 는 평행 사변형이며, 대각선 와 는 그 교점 에서 서로를 이등분한다. 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다. 선분 와 의 공통 중점을 라고 하자. 그렇다면 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다.
삼각형 의 외심 와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 에 무게 중심 를 닮음 중심으로 하고 을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 과 점 , , 이다. , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 과 , 과 , 과 는 평행한다. 따라서 , , 은 각각 삼각형의 변 , , 의 수선이다.
제2 브로카르 삼각형 편집
삼각형 의 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점 또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변 또는 에 접하는 두 원의 교점 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 제2 브로카르 삼각형(영어: second Brocard triangle) 라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 대칭 중선 , , 위의 점이다.
증명:
브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 의 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 선분 , , 를 연장한 외접원의 현의 중점이다.[1]:118, §10.4
증명:
편의상 삼각형 가 예각 삼각형이며 대칭 중점 가 선분 위의 점이며 외심 가 삼각형 의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면
이므로 , , , 는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다.
즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 는 브로카르 원 위의 점이다.
유향 선분 의 연장선과 외접원의 교점을 라고 하자. 그렇다면 가 현 의 수선이므로 는 현 의 중점이다.
슈타이너 점과 타리 점 편집
삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 슈타이너 점(영어: Steiner point) 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 타리 점(영어: Tarry point) 라고 한다 (가스통 타리, 프랑스어: Gaston Tarry). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.[1]:119–120, §10.5, (a)
증명:
꼭짓점 , 를 지나는 변 , 의 평행선의 교점을 라고 하자. 그렇다면 삼각형 와 가 닮음이므로
이다. 따라서 는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
이다. 와 가 평행하므로 는 와 평행한다.
점 의 대척점을 라고 하자. 그렇다면 선분 가 외접원의 지름이므로 , , 는 각각 , , 의 수선이다. 따라서 , , 는 , , 의 수선이다.
슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.[1]:120, §10.5, (a)
삼각형 의 대칭 중점 는 제1 브로카르 삼각형 의 슈타이너 점이다.[1]:121, §10.5, (b)
증명:
우선, 제1 브로카르 삼각형 의 제1 브로카르 삼각형 의 각 변 , , 가 원래 삼각형 와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 와 가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 와 제1 브로카르 삼각형 를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 와 그 제1 브로카르 삼각형 를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 에서 로 회전한 각의 크기와 에서 로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. 에서 로 회전한 각의 크기는 에서 로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 ), 에서 로 회전한 각의 크기는 에서 로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 와 는 평행한다.
이제 대칭 중점 가 제1 브로카르 삼각형 의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 의 외심을 라고 하자. 대칭성에 따라 와 가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 와 가 수직이며 와 가 수직이며 또한 와 가 평행하므로 성립한다.
노이베르크 원 편집
삼각형 의 브로카르 각을 라고 하자. 그렇다면 각각 선분 , , 를 한 변으로 하는 삼각형 , , 의 브로카르 각이 가 되게 만드는 점 , , 의 자취는 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 원과 이를 각각 변 , , 에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 3개의 원을 삼각형 의 노이베르크 원(영어: Neuberg circles)이라고 한다 (요제프 노이베르크, 룩셈부르크어: Joseph Neuberg).
증명:
꼭짓점 , , 를 지나는 노이베르크 원의 중심 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 , , 와 삼각형의 변 , , 사이의 거리는 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480
노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.[2]:287, §[XVII.]480
꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 및 변화하는 점 에 대한 (꼭짓점 를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점 , 과 선분 는 두 정삼각형 , 를 이룬다.[2]:289, §[XVII.]484
역사 편집
오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레(독일어: August Leopold Crelle)가 1816년에 도입하였다.[3]:495 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비(독일어: Karl Friedrich Andreas Jacobi)를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다.[3]:495 앙리 브로카르(프랑스어: Henri Brocard)가 1875년에 재발견하였다.[3]:495
각주 편집
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 카 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.
- ↑ 가 나 다 라 Besenyei, Ádám (2015년 5월). “The Brocard Angle and a Geometrical Gem from Dmitriev and Dynkin”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 122 (5): 495–499. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.495.
외부 링크 편집
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard points”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “First Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Brocard point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard angle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard triangles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “First Brocard triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Brocard triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Brocard triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Brocard diameter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Steiner points”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Tarry point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Neuberg circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Neuberg center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “First Neuberg triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Neuberg triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “First Neuberg circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Neuberg circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Neuberg circles’ radical circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.