헨젤 환

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가환대수학에서, 헨젤 환(Hensel環, 영어: Henselian ring)은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의편집

국소 가환환  이 주어졌다고 하자. (여기서   의 유일한 극대 아이디얼이며,  은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상  으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

 

이 존재한다.

임의의 일계수 다항식  가 주어졌다고 하자. 그렇다면   역시 일계수 다항식이다. 계수의 다항식환유일 인수 분해 정역이므로,  는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

 
 

(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가  에서 유래하는지, 즉

 
 

가 되는  가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약  인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우,  라면,   계수에서 존재하는 근   에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환헨젤 국소환(Hensel局所環, 영어: Henselian local ring)이라고 한다.

  • 임의의 일계수 다항식   이며   에 대하여,  이자   가 존재한다.
  • 임의의 일계수 다항식   이며   에 대하여,  이자   가 유일하게 존재한다.
  • 임의의 일계수 다항식    에 대하여, 만약  이라면,  ,  ,   가 존재한다.

순 헨젤 국소환편집

만약 헨젤 국소환  잉여류체  가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ( ),  순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, 영어: strictly Henselian local ring)이라고 한다.

헨젤 환편집

헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질편집

헨젤 국소환의 범주  는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주  충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자  왼쪽 수반 함자

 

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, 영어: henselization)라고 한다. 즉, 국소 가환환  에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환  국소환 준동형

 

이 항상 존재하며, 이를  헨젤화라고 한다.

  • 임의의 헨젤 국소환  국소환 준동형  에 대하여,  국소환 준동형  이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화(영어: strict henselization)를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

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다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.

p진 정수환의 헨젤 보조 정리편집

임의의 소수  에 대하여, p진 정수환  국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼 이며, 잉여류체유한체  이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식  계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은   계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

 

이므로, 이는 임의의  에 대하여   계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식  이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수  에 대하여

 
 

라고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,

 

 이 존재한다.

 진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

 
 

 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

 

로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여   진 정수이며, 따라서   진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

 

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한  진 정수  로 수렴하는 수열  을 얻는다.

응용편집

대수기하학에서, 국소환자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사편집

쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는)  진 정수환  가 헨젤 국소환임을 증명하였다.[1][2] 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.[3]

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Hensel, Kurt (1904). “Neue Grundlagen der Arithmetik”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127: 51–84. doi:10.1515/crll.1904.127.51. ISSN 0075-4102. 
  2. Hensel, Kurt (1908). 《Theorie der algebraischen Zahlen. Erster Band》 (독일어). Druck und Verlag von B. G. Teubner. Zbl 39.0269.01. 
  3. Azumaya, Gorô (1951). “On maximally central algebras”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 2: 119–150. ISSN 0027-7630. MR 0040287. 
  4. Nagata, Masayoshi (1953). “On the theory of Henselian rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 5: 45–57. ISSN 0027-7630. MR 0051821. 
  • Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975). 《Henselsche Ringe und algebraische Geometrie》. Mathematische Monographien (독일어) 2. Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften. MR 0491694. 
  • Raynaud, Michel (1970). 《Anneaux locaux henséliens》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 169. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069571. ISBN 978-3-540-05283-8. ISSN 0075-8434. MR 0277519. 

외부 링크편집