3차원 특수 유니터리 군

(겔만 행렬에서 넘어옴)

리 군론에서, 3차원 특수 유니터리 군 SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.[1][2]

정의편집

단순 리 군의 분류에서,  형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군   또는  에 대응한다.

이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.

기호 설명 기본군 중심 극대 콤팩트 부분군 사타케 도표 보건 도표
SU(3) 단일 연결 콤팩트 형식 0 Cyc(3) SU(3)    
PSU(3) 무중심 콤팩트 형식 Cyc(3) 0 PSU(3)
SL(3;ℝ) 분할 형식 0 Cyc(2) SO(3;ℝ)    
  분할 형식 Cyc(2) 0 Spin(3)
SU(1,2) Cyc(∞) Cyc(3) U(2)    
PSU(1,2) Cyc(∞)Cyc(3) 0 PU(2)
  0 Cyc(∞)Cyc(3)  

성질편집

위상수학적 성질편집

 는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.

표현론편집

SU(3)은 정의 표현   및 그 복소수 켤레  딸림표현  을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

 
 

여기서  는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.

SU(3)의 모든 표현은 두 자연수  로 유일하게 결정되며, 이는   속의 최고 무게 표현이다.  차 표현의 차원은

 

이다.  개의 길이 1의 열과  개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데  인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은   를 맞바꾸는 것에 해당한다.

낮은 차원의 표현은 다음과 같다.

기호 (p,q) 설명 영 타블로
1 (0,0) 자명한 표현
3 (1,0) 정의(定義) 표현
3 (0,1) 반정의(反定義) 표현
6 (2,0) □□
6 (0,2) □□
□□
8 (1,1) 딸림표현 □□
10 (3,0) □□□
10 (0,3) □□□
□□□
15 (2,1) □□□
15 (1,2) □□□
□□
15′ (4,0) □□□□
15′ (0,4) □□□□
□□□□
21 (5,0) □□□□□
21 (0,5) □□□□□
□□□□□
24 (3,1) □□□□
24 (1,3) □□□□
□□□
27 (2,2) □□
□□

리 대수의 기저편집

겔만 행렬(Gell-Mann行列, 영어: Gell-Mann matrices)은 특수 유니터리 리 대수  기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬 의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.

     
     
   

이들은

 
 

를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수

 

는 다음과 같다.

 
 
 

나머지 구조 상수들은 0이다. (즉,  개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.

역사편집

겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.[3]

응용편집

SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.

참고 문헌편집

  1. Mallesh, K. S.; Mukunda, N. (1997년 10월). “The algebra and geometry of SU (3) matrices” (PDF). 《Pramana》 (영어) 49 (4): 371–383. ISSN 0304-4289. 2017년 12월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 12월 10일에 확인함. 
  2. Shurtleff, Richard (2009). “Formulas for SU(3) matrices” (영어). arXiv:0908.3864. Bibcode:2009arXiv0908.3864S. 
  3. Gell-Mann, M. (1962). “Symmetries of baryons and mesons”. 《Physical Review》 (영어) 125 (3): 1067. 

외부 링크편집