단체 준군

호모토피 이론에서 단체 준군(單體準群, 영어: simplicial groupoid, simplicially enriched groupoid)은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.^:§Ⅴ

정의

단체 준군은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.^{:313, §Ⅴ.7:10, §1} 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 $\operatorname {Ob} (G)$. 그 원소를 대상이라고 한다.
• 임의의 두 $x,y\in \operatorname {Ob} (G)$에 대하여, 단체 집합 $\hom _{G}(x,y)$. 이를 $x\to y$ 사상들의 단체 집합이라고 한다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 각 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $G_{n}=(\operatorname {Ob} (G),(\hom _{G}(x,y))_{n})$는 준군을 이룬다.
• 단체 범주 $\triangle$의 사상 (즉, 증가 함수) $f\colon \{0,1,\dotsc ,n\}\to \{0,1,\dotsc ,m\}$에 대하여, $f^{*}\colon G_{m}\to G_{n}$는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합 $\operatorname {Ob} (G_{n})=\operatorname {Ob} (G)$에 대하여 항등 함수이다.)

단체 준군의 사상은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를 $\operatorname {sGpd}$로 표기하자.

성질

단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자

$\operatorname {sGpd} \to \operatorname {Gpd}$

$\operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet}$

가 존재한다.

모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 단체군(單體群, 영어: simplicial group)이라고 한다.

모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며,^{:18‒04, §3, Théorème 3} 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다.

고리 준군

단체 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 화살집

$X_{n+1}{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}X_{0}$

$s=(\partial _{1})^{n+1}\colon X_{n+1}\to X_{0}$

$t=\partial _{0}\circ (\partial _{2})^{n}\colon X_{n+1}\to X_{0}$

을 생각하자. ($s$는 화살의 머리, $t$는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을 $(\mathrm {G} X)_{n}$이라고 표기하자.

이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) $e\in X_{n+1}$에 대하여,

$s_{i}^{\mathrm {G} X}(e)=s_{i+1}^{X}(e)\qquad \forall e\in X_{n+1}$

$\partial _{i}^{\mathrm {G} X}(e)={\begin{cases}\partial _{i+1}^{X}(e)&1\leq i\leq n\\\partial _{0}^{\mathrm {G} X}(e)=(\partial _{0}^{X}(e))^{-1}\partial _{1}^{X}(e)&i=0\end{cases}}\qquad \forall e\in X_{n+1}$

그렇다면, $\mathrm {G} X$는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면 $\partial _{i}^{\mathrm {G} X}$ 및 퇴화 단체 $s_{i}^{\mathrm {G} X}$ 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.

이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자

$\operatorname {sSet} \to \operatorname {sGpd}$

를 이룬다. 이를 드와이어-칸 고리 준군 함자(Dwyer-Kan고리準群函子, 영어: Dwyer–Kan loop groupoid functor)라고 한다. 대략, 단체 집합 $X$의 고리 준군 $\mathrm {G} X$는 다음과 같다.

• $\mathrm {G} X$의 대상의 집합 $(\mathrm {G} X)_{0}$은 $X$의 꼭짓점 집합 $X_{0}$과 같다.
• $\mathrm {G} X$의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은 $X$의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서 $X$의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다.

이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다.

드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.

$G\colon \operatorname {sSet_{red}} \to \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )$

여기서

• $\operatorname {sSet_{red}}$는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(축소 단체 집합 縮小單體集合 영어: reduced simplicial set)들의 범주이다.
• $\operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )$은 단체군의 범주이다.

단체 분류 공간

드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자

$\mathrm {B} \colon \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet}$

를 가지며, 이를 단체 분류 공간 함자(單體分類空間函子, 영어: simplicial classifying space functor)라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍

$\mathrm {G} \colon \operatorname {sSet} \leftrightarrows \operatorname {sGpd} \colon \mathrm {B}$

이 존재한다.

단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍

$\mathrm {G} \colon \operatorname {sSet_{red}} \leftrightarrows \operatorname {Grp} ^{\triangle ^{\operatorname {op} }}\colon \mathrm {B}$

이 존재한다.

구체적으로, 단체 준군 $(G_{n})_{n\in \mathbb {N} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

• $(\mathrm {B} G)_{0}=\operatorname {Ob} (G)$
• $(\mathrm {B} G)_{1}=\operatorname {Mor} (G_{0})$
• $(\mathrm {B} G)_{n}=\{(h_{n-1},h_{n-2},\dotsc ,h_{1},h_{0})\colon h_{i}\in G_{i},\;{\mathsf {s}}_{G_{n}}(h_{i})={\mathsf {t}}_{G_{n}}(h_{i-1})\;\forall 0<i<n\}\subseteq \operatorname {Mor} (G_{n-1})\times \dotsb \times \operatorname {Mor} (G_{0})$
  • 여기서 ${\mathsf {s}}_{G_{n}},{\mathsf {t}}_{G_{n}}\colon \operatorname {Mor} (G_{n})\to \operatorname {Ob} (G)$은 준군 $G_{n}$의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
• 면 사상은 다음과 같다.
  • $\partial _{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(h_{n-2},\dotsc ,h_{0})$
  • $\partial _{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{i-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\partial _{i-2}^{G_{n-2}}h_{n-2},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{n-i+1}}h_{n-i+1},(\partial _{0}^{G_{n-i}}h_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i<n)$
  • $\partial _{n}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{n-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{1}}h_{1})$
• 퇴화 사상은 다음과 같다.
  • $s_{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\operatorname {id} _{{\mathsf {s}}(h_{n-1})},h_{n-1},\dotsc ,h_{0})$
  • $s_{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(s_{i-1}h_{n-1},\dotsc ,s_{0}h_{n-i},\operatorname {id} _{{\mathsf {t}}(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i\leq n)$

모형 범주 구조

단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다.^{:323, Theorem 7.8} 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.^{:325, Corollary 7.11}

이 모형 범주 구조에서, 사상 $f\colon G\to H$가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

• (올림의 존재) 임의의 $G$의 대상 $x\in \operatorname {Ob} (G)$ 및 $H$의 사상 $\alpha \in \hom _{H}(f(x),y)$에 대하여, $f({\bar {\alpha }})=\alpha$이며 $f({\bar {y}})=y$인 $G$의 사상 ${\bar {\alpha }}\in \hom _{G}(x,{\bar {y}})$이 존재한다.
• 각 대상 $x\in \operatorname {Ob} (G)$에 대하여, 단체 집합 사상 $\hom _{G}(x,x)\to \hom _{H}(f(x),f(x))$는 칸 올뭉치이다.

이 모형 범주 구조에서, 사상 $f\colon G\to H$가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

• $f$는 연결 성분 집합 $\pi _{0}(G)$, $\pi _{0}(H)$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
• 임의의 $x\in \operatorname {Ob} (G)$에 대하여, $(f\upharpoonright \hom _{G}(x,x))\colon \hom _{G}(x,x)\to \hom _{H}(f(x),f(x))$는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다.

이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다.

무어 복합체

단체군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 무어 복합체라는 군들의 열을 정의할 수 있다.

$(\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}(\mathrm {N} G)_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}(\mathrm {N} G)_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}\dotsb$

이 사이의 사상 $\partial _{i}\colon (\mathrm {N} G)_{i}\to (\mathrm {N} G)_{i-1}$은 군 준동형이며, 또한 $\partial _{i}\circ \partial _{i+1}=1$ (상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 “사슬 복합체”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 “사슬 복합체”의 “호몰로지”를 취할 수 있다.) 이러한 구조 $(\mathrm {N} G)_{\bullet }$를 단체군 $G$의 무어 복합체(Moore複合體, 영어: Moore complex)라고 한다.

구체적으로,

$(\mathrm {N} G)_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}\ker \partial _{i}^{G_{n}}\leq G_{n}$

$\partial _{n}=\left(\partial _{i}^{G_{n}}\upharpoonright (\mathrm {N} G)_{n}\right)\colon (\mathrm {N} G)_{n}\to (\mathrm {N} G)_{n-1}$

이다. 여기서 $\partial _{i}^{G_{n}}\colon G_{n}\to G_{n-1}$은 단체 대상의 면 사상이다. (※ $\partial _{0}^{G_{n}}$은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,

• 무어 복합체의 항 $(\mathrm {N} G)_{n}$은 $G$의 $n$차원 단체 가운데, 1번째〜$n$번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, $(\mathrm {N} G)_{0}=G_{0}$이다.)
• 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.

이러한 무어 복합체는 초교차 복합체(超交叉複合體, 영어: hypercrossed complex)라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다.

특히, 무어 복합체에서 $(\mathrm {N} G)_{2}=1$이라고 하고, 처음 두 항

$(\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial }}(\mathrm {N} G)_{1}$

을 생각하자. $(\mathrm {N} G)_{0}=G_{0}$은 $(\mathrm {N} G)_{1}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$g\cdot h=s_{0}^{G_{0}}(g)h(s_{0}^{G_{0}}(g))^{-1}\in (\mathrm {N} G)_{1}\qquad (g\in G_{0},\;h\in (\mathrm {N} G)_{1})$

그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다.

역사

축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다. 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(영어: William Gerard Dwyer, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.

외부 링크

• “Simplicial group”. 《nLab》 (영어). 
• “Simplicial groupoid”. 《nLab》 (영어). 
• “Dwyer-Kan loop groupoid”. 《nLab》 (영어). 
• “Simplicial loop space”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on simplicial groupoids”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on simplicial groups”. 《nLab》 (영어). 
• “∞-groupoid”. 《nLab》 (영어). 
• “Moore complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Hypercrossed complex”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 10월 22일). “The classifying space of a simplicial group”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Porter, Tim (2012년 3월 6일). “The crossed menagerie: an introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology” (PDF) (영어).