리 군 위의 입자

물리학에서 리 군 위의 입자(영어: particle on a Lie group)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.^:§2 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.

정의

콤팩트 연결 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 리 대수 ${\mathfrak {lie}}(G)$ 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식

$g(t,t')=g_{ab}t^{a}{t'}^{b}\qquad (t,t'\in {\mathfrak {lie}}(G))$

은 $G$ 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 $G$의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형

$G\times G\to \operatorname {Isom} (G,g)$

이 존재한다 ($\operatorname {Isom} (-)$은 전단사 등거리 변환의 군).

이 경우, 라그랑지언

$L(g,{\dot {g}})=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}$

을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은

$\delta \operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})\right)$

이다.

유도:

우선,

$0=\delta 1=\delta (g^{-1}g)=\delta (g^{-1})g+g^{-1}\delta g$

이므로,

$\delta (g^{-1})=-g^{-1}\delta gg^{-1}$

이며,

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}=-g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}$

이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\begin{aligned}\delta \operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}})^{2}&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}{\dot {g}})\right)\\&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}){\dot {g}}+g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta {\dot {g}}\right)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta gg^{-1}{\dot {g}}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=2\operatorname {tr} \left(\delta gg^{-1}{\dot {g}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}))\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\end{aligned}}$

이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(g^{-1}{\dot {g}}\right)=0$

이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

$g(t)=g_{\mathrm {L} }\exp(t\lambda )g_{\mathrm {R} }^{-1}$

여기서

• $g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} }\in G$는 상수이다. 특히, $g(0)=g_{\mathrm {L} }g_{\mathrm {R} }^{-1}$는 초기 조건이다.
• ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {lie}}(G)$는 $G$의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
• $\lambda \in {\mathfrak {h}}$는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.

이에 따라, $(g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )$를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 $2\dim G$차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), $2\dim G+\operatorname {rank} G$개의 성분을 갖는 $(g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )$ 좌표계는 $\operatorname {rank} G$차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 $G$의 극대 원환면 $\exp({\mathfrak {h}})\leq G$이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.

$g_{\mathrm {L} }\mapsto g_{\mathrm {L} }h$

$g_{\mathrm {R} }\mapsto \exp(t\alpha )h$

$\lambda \mapsto \lambda$

$h\in \exp({\mathfrak {h}})\leq G$

게이지 변환을 도입하면, 계의 $G\times G$ 대칭이

$(h_{\mathrm {L} },h_{\mathrm {R} })\cdot (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )=(h_{\mathrm {L} }g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} }h_{\mathrm {R} }^{-1},\lambda )$

와 같이 분해된다.

해밀턴 역학

위상 공간은 리 군의 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}G$이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 $(g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )$ 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.

$\omega (\lambda ,g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })=\omega _{\mathrm {L} }(\lambda ,g_{\mathrm {L} })+\omega _{\mathrm {R} }(\lambda ,g_{\mathrm {R} })$

양자화

콤팩트 연결 리 군 $G$ 위의 입자의 힐베르트 공간은 $G$ 위의 복소수 2차 르베그 공간

$\operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )$

이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 $G\times G$의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.

$G\times G\times \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )$

$((g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot \phi )(x)=\phi (g_{\mathrm {L} }^{-1}xg_{\mathrm {R} })$

이에 따라서, $\operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )$는 $G\times G$의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

$\operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )={\widehat {\bigoplus }}_{R\in \operatorname {IrRep} (G)}V_{R}\otimes V_{\bar {R}}$

$(g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot (v\otimes {\bar {v}})=(g_{\mathrm {L} }\cdot v)\otimes (g_{\mathrm {R} }\cdot v)\qquad (v\in V_{R},\;{\bar {v}}\in V_{\bar {R}})$

여기서

• $\operatorname {IrRep} (R)$는 $G$의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
• $\textstyle {\widehat {\bigoplus }}$는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
• $V_{R}$는 기약 표현 $R\colon G\to \operatorname {U} (V_{R})$의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
• ${\bar {R}}$는 기약 표현 $R$의 켤레 표현이다.

해밀토니언

$G\times G$의 무한소 작용을 나타내는 연산자

$\langle g|J_{\mathrm {L} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (\exp(-\epsilon t^{a})g)\rangle$

$\langle g|J_{\mathrm {R} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (g\exp(\epsilon t^{a}))\rangle$

를 생각하자. 그렇다면,

${\frac {1}{2}}H=\Delta _{g}=g_{ab}J(t^{a})(J^{b})=g_{ab}{\tilde {J}}^{a}{\tilde {J}}^{b}$

는 $G$ 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.

이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, $V_{R}\otimes V_{\bar {R}}$ 위에서, 해밀토니언의 고윳값 $E_{R}$은

$g_{ab}R(t^{a})R(t^{b})=2E_{R}1_{V_{R}}g_{ab}t^{a}t^{b}$

로 주어진다.

양자 모형과 고전 모형 사이의 관계

양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 $H$의 핵(즉, $G$ 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.

${\frac {1}{\operatorname {vol} G}}\sum _{R\in \operatorname {IrRep} (G)}(\dim V_{R})\exp(-\beta E_{R})\operatorname {tr} _{V_{R}}(g_{0}g_{1}^{-1})=K(g_{0},g_{1};\beta )=\int _{g\in \operatorname {W} (g_{0},g_{1})}\exp(-S[g])\;\mathrm {D} g$

여기서

• $\operatorname {W} (g_{0},g_{1})$은 $g(0)=g_{0}$, $g_{\beta }=g_{\beta }$인 연속 함수 $g\colon [0,\beta ]\to G$로 구성된 위너 공간이다.
• $\mathrm {D} g$는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
• $\textstyle S[g]={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\beta }\langle g^{-1}{\dot {g}},g^{-1}{\dot {g}}\rangle \,\mathrm {d} t$는 고전 모형의 작용이다.
• $\operatorname {tr} _{R}(-)$는 표현 $R$의 지표이다.

특히, $\beta \to 0$ 극한에서 이는 디랙 델타가 된다.

예

원군

$G=\operatorname {U} (1)$인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

${\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {U} (1);\mathbb {C} )$

이다. $\operatorname {U} (1)=\mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )$로 좌표 $\theta$를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저

$|n\rangle =\exp(\mathrm {i} n\theta )\qquad (n\in \mathbb {Z} )$

를 갖는다.

원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,

$R_{n}\colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }$

$R_{n}\colon \theta \mapsto \exp(\mathrm {i} \theta )$

이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.

$\operatorname {IrRep} (\operatorname {U} (1))\cong \mathbb {Z}$

힐베르트 공간의 분해

$H={\widehat {\bigoplus }}_{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} \otimes \mathbb {C} =\sum _{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} |n\rangle$

는 $H$의 정규 직교 기저 $|n\rangle$에 대한 분해이다.

해밀토니언

$H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}$

에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은

$H|n\rangle =n^{2}|n\rangle$

이다. 그 위의 열핵은

$K(\theta _{0},\theta _{1};\beta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-\beta n^{2})\exp(\mathrm {i} n(\theta _{1}-\theta _{0}))=\int _{{\scriptstyle \theta \colon [0,\beta ]\to \operatorname {U} (1)} \atop {\scriptstyle \theta (0)=\theta _{0},\;\theta (\beta )=\theta _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\beta }{\dot {g}}^{2}\right)\,\mathrm {D} g$

이며, 사실

${\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-n^{2}\beta )\exp(\mathrm {i} n\theta )={\frac {1}{\sqrt {4\pi \beta }}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp {\frac {(\theta -2n\pi )^{2}}{4\beta }}$

이다.

3차원 초구

$G=\operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}$인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

${\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {SU} (2);\mathbb {C} )$

이다. $\operatorname {SU} (2)$의 기약 표현은 스핀 $j\in \{0,1/2,1,3/2,2,,\dotsb \}=\operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2))$에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는

${\mathcal {H}}={\widehat {\bigoplus }}_{j}\mathbb {C} ^{2j+1}\otimes \mathbb {C} ^{2j+1}$

이다. $2j+1$차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)

$E_{j}=j(j+1)$

이다.

외부 링크

• Briant, Robert L. “Notes on geodesics on Lie groups” (PDF) (영어). 
• Quan, Hadrian. “Talk notes: quantum mechanics of a particle on a group” (PDF) (영어).