미분 리 대수

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리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.[1]:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2[2]:383, Chapter 16[3]:190, §25 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -가군  .  로 표기하자.
  •  -가군 준동형  ,  
  •  

그렇다면,   -미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  
  •  

편의상  로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

 
 

이는

 

을 정의하면

 

로 표기될 수 있다.

  위의  -미분들의 집합을  로 표기하자. 그렇다면,

 

위에 리 초괄호

 

을 정의하면, 이는  -리 초대수를 이룬다. 이를  미분 리 초대수(영어: derivation Lie superalgebra)라고 한다.

물론, 만약  일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우  미분 리 대수(영어: derivation Lie algebra)  를 정의할 수 있다. 이는  -리 대수이다. 리 대수 이론에서, 리 대수 미분(영어: derivation of a Lie algebra)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는  가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질편집

내부 미분편집

가환환   위의 리 대수  의 임의의 원소  에 대하여, 딸림표현

 

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

 

을 정의한다. 그  은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한  -몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다.

 

표수 0   위의 반단순 리 대수   위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

 

반면, 표수 0 위에서도,  를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.[4]:961, §1

리 대수 자기 동형편집

표수 0의 체   위의 리 대수   위의 미분  멱영원이라고 하자. 즉,

 

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

 

이는  리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

 

가 성립한다.

참고 문헌편집

  1. Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). Gauthier-Villars. 
  2. Eisenbud, David (1999). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어) 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94269-8. 
  3. Matsumura, Hideyuki (1989). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521367646. 
  4. Meng, Daoji (1999년 6월). “Complete Lie algebras”. 《Chinese Science Bulletin》 (영어) 44 (11): 961–964. 

외부 링크편집