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정의편집

결합 대수에 대한 정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 막대 복합체  는 다음과 같은,  -가군의 범주 속의 단체 대상이다.

 
 
 
 
 

특히,

 

로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

일반적 정의편집

보다 일반적으로, 모노이드 범주   속의 모노이드 대상   및 그 왼쪽 가군  오른쪽 가군  이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우,    속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드  와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합  오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합  이 주어졌을 때,  단체 집합을 이룬다.

성질편집

완전성편집

가환환   위의 결합 대수   및 그 위의 오른쪽 가군  왼쪽 가군  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체  를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

 

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

 

완전열이다. 즉, 그 호몰로지자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체   의 분해를 정의한다.

특히,  인 경우,   의 ( -쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.[2]:12, Proposition–definition 1.1.12

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호흐실트 호몰로지편집

가환환   위의 결합 대수  가 주어졌다고 하자.  의 각 성분은 모두  -쌍가군이므로, 포락 대수  를 정의하였을 때   -사슬 복합체를 이룬다. 임의의  -쌍가군  에 대하여,

 

  계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

 

  계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

군 코호몰로지편집

군 코호몰로지군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

분류 공간편집

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군  가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간   위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체  를 정의할 수 있다. 또한,  는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체  를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

 

이 존재한다. 이는  -주다발을 이루며, 또한 위상군  분류 공간  을 이룬다.

역사편집

사무엘 에일렌베르크손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다.[3] “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “ ”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “ ”로 표기하였기 때문이다.[1]:§4.3

참고 문헌편집

  1. Ginzburg, Victor (2005). “Lectures on noncommutative geometry” (영어). Bibcode:2005math......6603G. arXiv:math/0506603. 
  2. Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. 
  3. Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1953). “On the groups H(Π, n). Ⅰ”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 58: 55–106. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969820. MR 0056295. Zbl 0050.39304. doi:10.2307/1969820. 

외부 링크편집