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정의편집

 차원 매끄러운 다양체   위의 올다발  이 주어졌다고 하자. 또한,  의 올 역시  차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

 근방에 정의되는,  의 매끄러운 단면의 공간을  라고 표기하자.

제트편집

 의 두 매끄러운 국소 단면   에서 같은  차 제트(영어:  th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.

임의의  의 국소 좌표계 및  의 국소 자명화 및 다중지표  에 대하여, 만약  이라면  

즉,  에서의  차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면   에서의  차 제트를  로 표기한다.

제트 공간편집

임의의  에 대하여,  차 제트들의 집합  에는 다음과 같이

 

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다.   에서의 국소 좌표계   및 이를 확장하는   에서의 국소 좌표계  가 주어졌다면,

 

 의 국소 좌표계를 정의한다.    차 제트 공간( 次jet空間, 영어:  th jet space)이라고 한다.

 차 제트 공간에서  차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

 

그러나  차 제트 공간에서  차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

제트 다발편집

  위에,  차 제트 공간  을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를  제트 다발  이라고 한다. 즉, 제트 다발  의 전체 공간은  차원이다.

자연스러운 사영  이 존재하므로, 이는   위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

 
 

이 존재한다.    차 제트 연장( 次jet延長, 영어:  th jet prolongation)이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

무한 제트 다발편집

제트 다발 사이에는 사영 사상

 

이 존재한다. 이에 대한 역극한

 

무한 제트 다발(영어: infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.

편미분 방정식편집

매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체   위의, 올다발  의 단면에 대한  편미분 방정식 차 제트 다발  의 매끄럽게 매장된 부분 다양체  이다. 편미분 방정식  (解, 영어: solution)는 제트 연장     에 속하는,  의 매끄러운 단면  이다.

 

변분 이중 복합체편집

무한 제트 다발  미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다.   위의 미분 형식 공간  에서, 차수  은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

  •   방향의 차수  . 이를 수평 차수(영어: horizontal degree)라고 한다.
  • 무한 제트 다발의 올   방향의 차수  . 이를 수직 차수(영어: vertical degree)라고 한다.

따라서,

 

가 된다. 이를  변분 이중 복합체(變分二重複合體, 영어: variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분   역시 수평 방향  와 수직 방향  로 분해할 수 있다.

 
 
 

이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.

예를 들어,  차원 시공간   위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발  의 단면  이 되고, 라그랑지언 밀도미분 형식  이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용

 

을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식

 
 

가 된다.

성질편집

올다발   위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(영어: Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다.

 

여기서

 

 을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

 

가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간  드람 코호몰로지와 동형이다.

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0차 제트편집

임의의 올다발

 

의 0차 제트 다발은  이다.

 

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.

 

자명한 올다발의 1차 제트편집

자명한 올다발

 

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

 

매끄러운 함수  의 1차 제트는 함수의 미분이다.

 

여기서   은 각각 공변접다발접다발이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은

 

이다. 여기서

 
 

곱공간의 자연스러운 사영 사상이며,  은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발당김이다.

특히,  일 경우

 

이며, 반대로  일 경우

 

이다. 후자에서  인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로,  의 국소 좌표계  를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.

 

일반적 올다발의 1차 제트편집

올과 밑공간이 매끄러운 다양체올다발

 
 
 

을 생각하자. 이 경우, 올다발접다발  의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(영어: vertical bundle)  를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

즉, 올다발  의 수직 다발  의 올   의 올의 접공간이다.    위의  차원 벡터 다발을 이룬다.

그렇다면,   위의 1차 제트 다발은 (  위의 올다발로서) 다음과 같다.

 
 

 단면  는 ( 이므로)   위의  값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한,  다발 사상  로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그    위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

 

가 되어,  를 수평 다발로 여길 수 있다.

피복 공간의 제트편집

 피복 공간

 

은 올이  개의 점의 이산 공간올다발이다. 이 경우,  의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의  에 대하여  차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

 

가 된다.

역사편집

제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Ehresmann, C. (1953). 〈Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie〉. 《Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953》. Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique (프랑스어) 52. Centre national de la recherche scientifique. 97-127쪽. OCLC 27311357. 

외부 링크편집