대역체
K
{\displaystyle K}
의 아라켈로프 인자 (Аракелов因子, 영어 : Arakelov divisor ) 또는 충만 아이디얼 (充滿ideal, 영어 : replete ideal )
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[ 1] :34, §I.6
각 아르키메데스 자리
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여, 정수
ord
m
(
p
)
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {Z} }
각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체 의 실수 또는 복소수 자리)
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여, 실수
ord
m
(
p
)
∈
R
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {R} }
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
중복수가 0이 아닌 자리 의 수는 유한하다.
|
{
p
∈
Places
(
O
K
)
:
ord
m
(
p
)
>
0
}
|
<
ℵ
0
{\displaystyle \left|\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0\}\right|<\aleph _{0}}
이를 자리의 중복수 (영어 : multiplicity )라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군 을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.
A
=
∏
p
∈
Places
(
O
K
)
p
ord
m
(
p
)
{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})}{\mathfrak {p}}^{\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}}
이는 대수적 정수환 의 분수 아이디얼 의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.
대역체
K
{\displaystyle K}
의 모듈러스
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.
모든 자리의 중복수는 음이 아니다.
∀
p
∈
Places
(
O
K
)
:
ord
m
(
p
)
≥
0
{\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\geq 0}
만약
K
{\displaystyle K}
가 대수적 수체 라면, 실수 자리 의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.
만약
K
{\displaystyle K}
가 유한체
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
위의 고유 대수 곡선
X
/
Spec
F
q
{\displaystyle X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}
의 유리 함수체 라면,
K
{\displaystyle K}
위의 모듈러스는
X
{\displaystyle X}
의 효과적 베유 인자 (즉,
X
{\displaystyle X}
위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합 )와 같은 개념이다.
대역체 의 모듈러스
m
=
m
0
m
∞
{\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }}
는 유한 부분 (유한 위치들의 부분 중복집합)
m
0
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}
와 무한 부분 (무한 위치들의 집합)
m
∞
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}
로 분해할 수 있다. 대수적 수체 가 아닌 대역체 의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체
K
{\displaystyle K}
의 모듈러스
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
의 유한 부분
m
0
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}
는 소 아이디얼 들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
의 아이디얼 과 같다.
대역체
K
{\displaystyle K}
의 0이 아닌 두 원소
a
,
b
∈
K
×
{\displaystyle a,b\in K^{\times }}
및
K
{\displaystyle K}
의 모듈러스
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
에 대하여, 만약
ord
m
(
p
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0}
인 모든 자리
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여 다음 조건이 성립한다면,
a
{\displaystyle a}
와
b
{\displaystyle b}
가
m
{\displaystyle m}
에 대하여 합동 (영어 : congruent )이라고 하고,
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
으로 적는다.
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
가 유한 자리 이라면,
ord
p
(
a
/
b
−
1
)
≥
ord
m
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(a/b-1)\geq \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
가 실수 매장
σ
:
K
↪
R
{\displaystyle \sigma \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }
에 대한 실수 자리 라면,
σ
(
a
/
b
)
>
0
{\displaystyle \sigma (a/b)>0}
여기서
ord
p
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}}
는
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대응되는 절댓값 이
|
a
|
p
=
exp
(
−
ord
(
a
)
)
{\displaystyle |a|_{\mathfrak {p}}=\exp(-\operatorname {ord} (a))}
와 동치가 되는 전사 함수
ord
p
:
K
→
Z
⊔
{
∞
}
{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\colon K\to \mathbb {Z} \sqcup \{\infty \}}
이다.
대수적 수체 위의 대수 곡면 의 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프 가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.[ 2] :71–76
대수적 수체
K
{\displaystyle K}
가 주어졌다고 하자.
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
-스킴
p
:
X
/
Spec
(
O
K
)
{\displaystyle p\colon X/\operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})}
이 2차원 정역 정칙 스킴 이며,
p
{\displaystyle p}
가 고유 사상 이자 평탄 사상 이라고 하자. 또한,
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
의 일반점 이
η
{\displaystyle \eta }
라고 하자.
K
{\displaystyle K}
의 아르키메데스 자리
σ
∈
Places
∞
(
K
)
{\displaystyle \sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}
에 대하여,
X
{\displaystyle X}
의
σ
{\displaystyle \sigma }
에서의 올
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
는 다음과 같다.
X
σ
=
X
×
O
K
K
¯
σ
{\displaystyle X_{\sigma }=X\times _{{\mathcal {O}}_{K}}{\bar {K}}_{\sigma }}
이는 리만 곡면 을 이룬다.
X
{\displaystyle X}
위의 아라켈로프 인자 의 아벨 군
Div
^
(
X
)
{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}
은 다음과 같다.
Div
^
(
X
)
=
Div
(
X
)
⊕
⨁
σ
∈
Places
∞
(
K
)
R
σ
{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)=\operatorname {Div} (X)\oplus \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma }
여기서
⨁
σ
∈
Places
∞
(
K
)
R
σ
{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma }
는
K
{\displaystyle K}
의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간 이다.
가역 유리 함수
f
∈
Γ
(
X
;
K
X
×
)
=
(
Frac
Γ
(
X
;
O
X
)
)
×
{\displaystyle f\in \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })=\left(\operatorname {Frac} \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }}
에 대응하는 주 아라켈로프 인자 (영어 : principal Arakelov divisor )
(
f
)
∈
Div
^
(
X
)
{\displaystyle (f)\in {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}
는 다음과 같다.[ 2] :75–76
(
f
)
=
(
f
)
0
+
∑
σ
∈
Places
∞
(
K
)
(
f
)
σ
σ
{\displaystyle (f)=(f)_{0}+\sum _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}(f)_{\sigma }\sigma }
(
f
)
σ
=
−
∫
X
σ
ln
|
f
σ
|
d
μ
σ
{\displaystyle (f)_{\sigma }=-\int _{X_{\sigma }}\ln |f_{\sigma }|\;\mathrm {d} \mu _{\sigma }}
여기서
d
μ
σ
{\displaystyle \mathrm {d} \mu _{\sigma }}
는 콤팩트 리만 곡면
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
위의,
∫
X
σ
d
μ
σ
=
1
{\displaystyle \textstyle \int _{X_{\sigma }}\mathrm {d} \mu _{\sigma }=1}
이 되는 표준적 부피 형식 이다. 구체적으로,
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
위의 (1,0)-복소수 미분 형식
α
{\displaystyle \alpha }
에 대하여
α
∧
α
¯
{\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\alpha }}}
는 (1,0)-복소수 미분 형식 의 가역층 위의 에르미트 계량 을 정의하며, 이로부터 부피 형식 을 정의할 수 있다.
(
f
)
0
{\displaystyle (f)_{0}}
은 베유 주인자 를 뜻한다.
이는 군 준동형
(
−
)
:
Γ
(
X
;
K
X
×
)
→
Div
^
(
X
)
{\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}
을 이루며, 그 여핵 을 아라켈로프 인자 유군 (영어 : Arakelov divisor class group )이라고 한다.[ 2] :76
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
의 아라켈로프 인자는
(
r
)
∞
a
(
r
∈
Q
×
,
a
∈
R
)
{\displaystyle (r)\infty ^{a}\qquad (r\in \mathbb {Q} ^{\times },\;a\in \mathbb {R} )}
의 꼴이다. 유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
의 모듈러스는
(
n
)
∞
a
(
n
∈
Z
+
,
a
∈
{
0
,
1
}
)
{\displaystyle (n)\infty ^{a}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;a\in \{0,1\})}
의 꼴이다. 만약
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
의 소인수 분해 가
n
=
∏
i
p
n
i
{\displaystyle n=\prod _{i}p^{n_{i}}}
라면,
a
,
b
∈
Q
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }
에 대하여
a
≡
b
(
mod
(
n
)
)
⟺
∃
m
,
k
:
m
(
a
−
b
)
∈
n
Z
,
m
∤
n
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)}}\iff \exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb {Z} ,\qquad m\nmid n}
이며,
a
≡
b
(
mod
(
n
)
∞
)
⟺
(
a
/
b
>
1
∧
a
≡
b
(
mod
(
n
)
)
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)\infty }}\iff \left(a/b>1\land a\equiv b{\pmod {(n)}}\right)}
이다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
의 "정의 모듈러스"와 "인도자"
편집
이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙 입니다.
K
{\displaystyle K}
가 대수적 수체 이며,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
를 유한 아벨 확대 로 가정하면,
S
{\displaystyle S}
가
L
/
K
{\displaystyle L/K}
에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면,
S
{\displaystyle S}
에 대하여 서로소인 분수 아이디얼 들의 아벨 군
I
K
S
{\displaystyle I_{K}^{S}}
에서 갈루아 군
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}
으로 가는 다음과 같은 군 준동형 이 존재하며, 이를 아르틴 사상 (영어 : Artin map )이라고 한다.
I
K
S
→
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)}
아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스
c
{\displaystyle c}
에 대하여, 군 준동형의 핵 은 다음과 같은 형태이다.
i
(
K
m
,
1
)
N
L
/
K
(
I
L
m
)
{\displaystyle i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})}
여기서
K
m
,
1
{\displaystyle K_{{\mathfrak {m}},1}}
은
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
에 대한 반직선 이며,
N
L
/
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}
는 체 노름 이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스 를
L
/
K
{\displaystyle L/K}
의 정의 모듈러스 (영어 : defining modulus )라고 하며, 여기서, 최소한의
L
/
K
{\displaystyle L/K}
정의모듈러스를
L
/
K
{\displaystyle L/K}
의 인도자 (引導者, 영어 : conductor )라고 한다.