군론 과 기하학 에서 삼각군 (三角群, 영어 : triangle group )은 음 또는 양 또는 0의 곡률을 갖는 평면에서, 삼각형을 이루는 세 개의 직선에 대한 반사들로 생성되는 군 이다.
다음이 주어졌다고 하자.
2 이상의 세 수
l
,
m
,
n
∈
{
2
,
3
,
4
,
…
,
∞
}
{\displaystyle l,m,n\in \{2,3,4,\dotsc ,\infty \}}
.
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
은 군 이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다.
대수적으로, 삼각군은 콕서터 군 의 일종이다.
기하학적으로, 삼각군은 어떤 평면의 삼각형 테셀레이션 을 정의하는 대칭군이다.
세 정수
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
의 순열 을 취해도 서로 동형 인 군을 얻는다. 따라서, 보통
l
≤
m
≤
n
{\displaystyle l\leq m\leq n}
인 순서로 배열한다.
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
은 다음과 같은 표시 를 갖는 콕서터 군 이다.
△
(
l
,
m
,
n
)
=
⟨
a
,
b
,
c
|
a
2
=
b
2
=
c
2
=
(
a
b
)
l
=
(
b
c
)
m
=
(
c
a
)
n
=
1
⟩
{\displaystyle \triangle (l,m,n)=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=(ca)^{n}=1\rangle }
여기서,
l
{\displaystyle l}
또는
m
{\displaystyle m}
또는
n
{\displaystyle n}
이 ∞라면, 해당 관계를 생략하는 것으로 처리한다. 예를 들어,
△
(
l
,
m
,
∞
)
=
⟨
a
,
b
,
c
|
a
2
=
b
2
=
c
2
=
(
a
b
)
l
=
(
b
c
)
m
=
1
⟩
{\displaystyle \triangle (l,m,\infty )=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=1\rangle }
이다.
X
{\displaystyle X}
를 다음과 같이 정의하자.
만약
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
<
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n<1}
라면,
X
{\displaystyle X}
는 쌍곡 평면
H
2
{\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}
이다.
만약
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
=
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1}
라면,
X
{\displaystyle X}
는 유클리드 평면
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
이다.
만약
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
>
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1}
라면,
X
{\displaystyle X}
는 실수 사영 평면
R
P
2
{\displaystyle \operatorname {\mathbb {RP} } ^{2}}
이다.
이 경우,
X
{\displaystyle X}
위에, 세 각이 각각
(
π
/
l
,
π
/
m
,
π
/
n
)
{\displaystyle (\pi /l,\pi /m,\pi /n)}
라디안 인 삼각형 을 그릴 수 있다. (여기서
π
/
∞
=
0
{\displaystyle \pi /\infty =0}
이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군 이라고 한다. 이에 따라, 예를 들어 만약
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
=
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1}
라면 삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
은 2차원 유클리드 군
IO
(
2
;
R
)
=
R
2
⋊
O
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (2;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{2}\rtimes \operatorname {O} (2;\mathbb {R} )}
의 부분군 이 된다.
쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이
(
π
/
2
,
π
/
2
,
0
)
{\displaystyle (\pi /2,\pi /2,0)}
으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형, 예를 들어
{
(
x
,
y
)
:
x
≥
0
,
0
≤
y
≤
1
}
{\displaystyle \{(x,y)\colon x\geq 0,0\leq y\leq 1\}}
이다.
폰 뒤크 군 (von Dyck群, 영어 : von Dyck group )
D
(
l
,
m
,
n
)
≤
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {D} (l,m,n)\leq \triangle (l,m,n)}
은
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
의, 다음과 같은 부분군 이다.
대수적 정의:
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
=
⟨
a
,
b
,
c
|
a
2
=
b
2
=
c
2
=
(
a
b
)
l
=
(
b
c
)
m
=
(
c
a
)
n
=
1
⟩
{\displaystyle \triangle (l,m,n)=\langle a,b,c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{m}=(ca)^{n}=1\rangle }
의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
로 생성되는 원소들의 군이다. 즉,
(
x
,
y
)
=
(
a
b
,
b
c
)
{\displaystyle (x,y)=(ab,bc)}
로 놓으면,
D
(
l
,
m
,
n
)
=
⟨
x
,
y
|
x
l
=
y
m
=
(
x
y
)
n
=
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {D} (l,m,n)=\langle x,y|x^{l}=y^{m}=(xy)^{n}=1\rangle }
이다.
기하학적 정의:
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
-삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
가운데, 국소적으로 방향 을 보존하는 것이다. (가향 다양체 인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향 을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체 가 아니므로 대역적인 방향 의 개념이 존재하지 않는다.)
삼각군
△
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle \triangle (l,m,n)}
이 유한군 일 필요 충분 조건 은 구형인 경우, 즉
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
>
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1}
인 것이다. 이는 쌍곡 평면 이나 유클리드 평면 과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간 이기 때문이다.
쌍곡 폰 뒤크 군은 푹스 군 이다.
구형 삼각군, 즉
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
>
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n>1}
인 경우의 목록은 다음과 같다.
(
2
,
2
,
n
)
{\displaystyle (2,2,n)}
,
n
=
2
,
3
,
4
,
…
{\displaystyle n=2,3,4,\dotsc }
(
2
,
3
,
3
)
{\displaystyle (2,3,3)}
. 이는 정사면체 의 대칭군이다.
(
2
,
3
,
4
)
{\displaystyle (2,3,4)}
. 이는 정육면체 및 정팔면체 의 대칭군이다.
(
2
,
3
,
5
)
{\displaystyle (2,3,5)}
. 이는 정십이면체 및 정이십면체 의 대칭군이다.
(2,2,2)-삼각군
(2,2,3)-삼각군
(2,2,4)-삼각군
(2,2,5)-삼각군
(2,2,6)-삼각군
(2,2,∞)-삼각군
(2,3,3)-삼각군
(2,3,4)-삼각군
(2,3,5)-삼각군
유클리드 삼각군, 즉
1
/
l
+
1
/
m
+
1
/
n
=
1
{\displaystyle 1/l+1/m+1/n=1}
인 경우의 목록은 다음과 같다.
(
2
,
3
,
6
)
{\displaystyle (2,3,6)}
. 이는 평면의 정육각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다.
(
2
,
4
,
4
)
{\displaystyle (2,4,4)}
. 이는 평면의 정사각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다.
(
3
,
3
,
3
)
{\displaystyle (3,3,3)}
. 이는 평면의 정삼각형 을 통한 테셀레이션 에 대응한다.
위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이다. 즉, 그 목록은 다음과 같다.
(
2
,
3
,
n
)
{\displaystyle (2,3,n)}
,
n
=
7
,
8
,
9
,
…
{\displaystyle n=7,8,9,\dotsc }
(
2
,
4
,
n
)
{\displaystyle (2,4,n)}
,
n
=
5
,
6
,
7
,
…
{\displaystyle n=5,6,7,\dotsc }
(
3
,
3
,
n
)
{\displaystyle (3,3,n)}
,
n
=
4
,
5
,
6
,
…
{\displaystyle n=4,5,6,\dotsc }
(
3
,
m
,
n
)
{\displaystyle (3,m,n)}
,
4
≤
m
≤
n
{\displaystyle 4\leq m\leq n}
(
l
,
m
,
n
)
{\displaystyle (l,m,n)}
,
4
≤
l
≤
m
≤
n
{\displaystyle 4\leq l\leq m\leq n}
(2,3,7)-삼각군
(2,3,8)-삼각군
(2,3,9)-삼각군
(2,3,∞)-삼각군
(2,4,5)-삼각군
(2,4,6)-삼각군
(2,4,7)-삼각군
(2,4,8)-삼각군
(2,4,∞)-삼각군
(2,5,5)-삼각군
(2,5,6)-삼각군
(2,5,7)-삼각군
(3,3,4)-삼각군
(3,3,5)-삼각군
(3,3,6)-삼각군
(3,3,7)-삼각군
(3,3,∞)-삼각군
(3,4,4)-삼각군
(3,6,6)-삼각군
(6,6,6)-삼각군
(∞,∞,∞)-삼각군
(2,3,7)-폰 뒤크 군은 클라인 4차 곡선 의 이론에서 등장한다.
모듈러 군
⟨
S
,
T
|
S
2
=
(
S
T
)
3
=
1
⟩
{\displaystyle \langle S,T|S^{2}=(ST)^{3}=1\rangle }
은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.
1856년에 이미 윌리엄 로언 해밀턴 이 정이십면체 의 대칭군이 폰 뒤크 군
D
(
2
,
3
,
5
)
{\displaystyle \operatorname {D} (2,3,5)}
임을 증명하였으며, 이 군을 “정이십면체 산법”(영어 : icosian calculus 아이코시언 캘큘러스[* ] )이라고 불렀다.[1] 이 논문에서 해밀턴은 다음과 같이 적었다.
“
나는 최근 비가환 1의 거듭제곱근 의 새로운 체계 — 또는 체계들의 족(族) —를 발견하였다. 이는 사원수 […]와 어떤 면에서는 유사하지만, 전혀 다르다. 또한, 이들은 사원수보다도 더 쉽게 기하학적인 해석 을 갖는다. 이 새 족 가운데 현재 가장 흥미롭다고 생각되는 것은 다음과 같은 관계를 따르는 세 개의 기호
ι
{\displaystyle \iota }
,
κ
{\displaystyle \kappa }
,
λ
{\displaystyle \lambda }
로 구성된다.
ι
2
=
1
,
κ
3
=
1
,
λ
5
=
1
,
λ
=
ι
κ
;
}
.
.
.
.
(
A
)
{\displaystyle \left.{{\textstyle \iota ^{2}=1,\qquad \kappa ^{3}=1,\qquad \lambda ^{5}=1,} \atop {\textstyle \lambda =\iota \kappa ;}}\right\}\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad \mathrm {(A)} }
여기서
ι
κ
{\displaystyle \iota \kappa }
는
κ
ι
{\displaystyle \kappa \iota }
와 다르다 […].
I have lately been led to the conception of a new system, or rather family of systems , of non-commutative roots of unity , which are entirely distinct from […] the quaternions, though having some general analogy thereto; and which admit, even more easily than the quaternion symbols do, of geometrical interpretation . In the system which seems at present to be the most interesting one, among those included in this new family, I assume three
symbols,
ι
{\displaystyle \iota }
,
κ
{\displaystyle \kappa }
,
λ
{\displaystyle \lambda }
, such that
ι
2
=
1
,
κ
3
=
1
,
λ
5
=
1
,
λ
=
ι
κ
;
}
.
.
.
.
(
A
)
{\displaystyle \left.{{\textstyle \iota ^{2}=1,\qquad \kappa ^{3}=1,\qquad \lambda ^{5}=1,} \atop {\textstyle \lambda =\iota \kappa ;}}\right\}\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad \mathrm {(A)} }
where
ι
κ
{\displaystyle \iota \kappa }
must be distinguished from
κ
ι
{\displaystyle \kappa \iota }
[…].
”
“폰 뒤크 군”이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(독일어 : Walther Franz Anton von Dyck , 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.