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유사 거리 공간

(유사 거리 함수에서 넘어옴)

기하학에서, 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.

정의편집

집합   위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, 영어: extended pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

 

이다.[1]:12, §0.13

  • 임의의  에 대하여,  
  • (대칭성) 임의의  에 대하여,  
  • (삼각 부등식) 임의의  에 대하여,  

둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.

  • (삼각 부등식)  

여기서  로 잡으면  가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약  공역을 음이 아닌 확장된 실수   대신 음이 아닌 실수  로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수  가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.

  • (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의  에 대하여,  

(확장) 유사 거리 공간(영어: (extended) pseudometric space)  은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.[1]:12, §0.13

유사 거리 공간의 특별한 집합편집

확장 유사 거리 공간  에서, 점  를 중심으로 하는, 반지름이  열린 공  는 다음과 같다.

 

유사 거리 공간  유계 집합  는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

  •  인 점  가 존재한다.

거리 위상편집

확장 유사 거리 공간  유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합  이다.

모든  에 대하여,   가 존재한다.

이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다.

연산편집

지름편집

확장 유사 거리 공간  지름(영어: diameter)  는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

 

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간이라고 한다.

거리화편집

유사 거리 공간   위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

 

그렇다면, 이에 대한 몫집합   위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

 

이에 따라  은 거리 공간을 이룬다.

성질편집

유사 거리 공간  의 임의의 부분 집합  에 대하여,  는 유사 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질편집

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

함의 관계편집

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

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불 대수   위의 유한 유한 가법 측도  가 주어졌을 때,   위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

 

여기서  대칭차이다.

함수해석학에서, Lp 거리 공간  은 어떤 함수 공간  의 거리 공간화로 정의되며,  는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

참고 문헌편집

  1. Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001. 

외부 링크편집