범주론 과 일반위상수학 에서 위상 함자 (位相函子, 영어 : topological functor )는 위상 공간 의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자 이다. 구체적으로, 주어진 집합 을 정의역 으로 하는 함수 들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합 을 공역 으로 하는 함수 들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주 의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.[1] :407, §1
범주
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
원천 (源泉, 영어 : source 소스[* ] )
(
X
,
(
Y
i
)
i
∈
I
,
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
)
{\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I})}
[2] :125, Definition 1.1(1)
X
∈
E
{\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}
(
Y
i
)
i
∈
I
⊆
E
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
모임 이다. (이 모임은 고유 모임 일 수 있다.)
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
모임 이다.마찬가지로,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
흡입 (吸入, 영어 : sink 싱크[* ] )
(
X
,
(
Y
i
)
i
∈
I
,
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
)
{\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I})}
X
∈
E
{\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}
(
Y
i
)
i
∈
I
⊆
E
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
모임 이다. (이 모임은 고유 모임 일 수 있다.)
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
모임 이다.만약
I
{\displaystyle I}
공집합 이라면, 원천
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
X
{\displaystyle X}
I
{\displaystyle I}
한원소 집합 이라면 원천은 단순히 사상
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
범주
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
함자
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
보편 성질 을 만족시킨다면,
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
Π
{\displaystyle \Pi }
영어 : initial source )이라고 한다.[2] :Definition 2.1(1)
임의의 대상
X
′
∈
E
{\displaystyle X'\in {\mathcal {E}}}
g
^
:
Π
(
X
′
)
→
Π
(
X
)
{\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)}
(
f
i
′
:
X
′
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f'_{i}\colon X'\to Y_{i})_{i\in I}}
∀
i
∈
I
:
Π
(
f
i
)
∘
g
^
=
Π
(
f
i
′
)
{\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})\circ {\hat {g}}=\Pi (f'_{i})}
g
^
=
Π
(
g
)
{\displaystyle {\hat {g}}=\Pi (g)}
∀
i
∈
I
:
f
i
∘
g
=
f
i
′
{\displaystyle \forall i\in I\colon f_{i}\circ g=f'_{i}}
g
:
X
′
→
X
{\displaystyle g\colon X'\to X}
E
→
Π
B
X
′
∃
!
g
↓
∃
!
g
↘
f
i
′
X
→
f
i
Y
i
↦
Π
Π
X
′
g
^
↓
g
^
↘
Π
f
i
′
Π
X
→
Π
f
i
Π
Y
i
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}
마찬가지로, 그 쌍대 개념인
Π
{\displaystyle \Pi }
영어 :
Π
{\displaystyle \Pi }
만약
I
{\displaystyle I}
한원소 집합 이라면, 시작 원천은 데카르트 사상
두 범주
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
함자
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
(
f
^
i
:
X
^
→
Y
^
i
)
i
∈
I
{\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}}
Y
^
i
=
Π
(
Y
i
)
{\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\Pi (Y_{i})}
Y
i
∈
E
{\displaystyle Y_{i}\in {\mathcal {E}}}
(
f
^
i
:
X
^
→
Y
^
i
)
i
∈
I
{\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}}
Π
{\displaystyle \Pi }
영어 :
Π
{\displaystyle \Pi }
[2] :128, Definition 1.1(2)
Π
{\displaystyle \Pi }
영어 :
Π
{\displaystyle \Pi }
Π
{\displaystyle \Pi }
(
f
^
i
:
X
^
→
Π
(
Y
i
)
)
i
∈
I
{\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}
올림
Π
(
X
)
=
X
^
{\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}}
∀
i
∈
I
:
Π
(
f
i
)
=
f
^
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})={\hat {f}}_{i}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
(
f
i
:
X
^
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon {\hat {X}}\to Y_{i})_{i\in I}}
E
→
Π
B
∃
X
∃
f
i
↓
∃
f
i
Y
i
↦
Π
X
^
f
^
i
↓
f
^
i
Π
Y
i
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}
Π
{\displaystyle \Pi }
올림 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질 에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
임의의
Π
{\displaystyle \Pi }
(
X
^
→
Π
(
Y
i
)
)
i
∈
I
{\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}
(
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X\to Y_{i})_{i\in I}}
X
{\displaystyle X}
(
X
^
→
Π
(
Y
i
)
)
i
∈
I
{\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}
X
^
{\displaystyle {\hat {X}}}
시작
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
(始作構造, 영어 : initial
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
)라고 한다. 마찬가지로,
Π
{\displaystyle \Pi }
끝
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
(-構造, 영어 : final
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
)를 정의할 수 있다.
함자
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
동치 이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자 (영어 : topological functor )라고 한다.[2] :128, Definition 2.1(3) [3] :29–30, §2 [4] :4, Definition 2.12
모든
Π
{\displaystyle \Pi }
모든
Π
{\displaystyle \Pi }
위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.[1]
다음과 같은 구체적 범주 들의 망각 함자는 위상 함자이다.
집합 과 함수 의 범주
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
[4] :2, Example 2.1(25) 위상 공간 과 연속 함수 의 범주
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
[4] :2, Example 2.1(1) 콜모고로프 공간 과 연속 함수 의 범주
KolmTop
{\displaystyle \operatorname {KolmTop} }
[4] :2, Example 2.1(17) T1 공간 과 연속 함수 의 범주
T
1
T
o
p
{\displaystyle \operatorname {T_{1}Top} }
[4] :2, Example 2.1(18) 하우스도르프 공간 과 연속 함수 의 범주
HausTop
{\displaystyle \operatorname {HausTop} }
[4] :2, Example 2.1(19) 콤팩트 하우스도르프 공간 과 연속 함수 의 범주
CompHausTop
{\displaystyle \operatorname {CompHausTop} }
[4] :2, Example 2.1(21) 균등 공간 과 균등 연속 함수 의 범주
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
[4] :2, Example 2.1(2) 가측 공간 과 가측 함수 의 범주
Measble
{\displaystyle \operatorname {Measble} }
원순서 집합 과 순서 보존 함수의 범주
Proset
{\displaystyle \operatorname {Proset} }
[4] :2, Example 2.1(14) 부분 순서 집합 과 순서 보존 함수의 범주
Poset
{\displaystyle \operatorname {Poset} }
[4] :2, Example 2.1(15) 확장 유사 거리 공간 과 상수 1의 립시츠 연속 함수 의 범주
∞
p
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty pMet} }
[6] :233, Proposition B.1.2 로비어 공간 과 상수 1의 립시츠 연속 함수 의 범주
∞
q
p
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty qpMet} }
[6] :233, Proposition B.1.2 다음과 같은 구체적 범주 들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
차분한 공간 과 연속 함수 의 범주
SoberTop
{\displaystyle \operatorname {SoberTop} }
정규 공간 과 연속 함수 의 범주
NormTop
{\displaystyle \operatorname {NormTop} }
정규 하우스도르프 공간 과 연속 함수 의 범주
NormHausTop
{\displaystyle \operatorname {NormHausTop} }
장소 와 장소 사상의 범주
Loc
{\displaystyle \operatorname {Loc} }
매끄러운 다양체 와 매끄러운 함수 의 범주
Diff
{\displaystyle \operatorname {Diff} }
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상 (始作位相, 영어 : initial topology )과 끝 위상 (-位相, 영어 : final topology )이라고 불린다.
즉, 집합
X
{\displaystyle X}
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
시작 위상 은
f
i
{\displaystyle f_{i}}
연속 함수 로 만드는 가장 엉성한 위상 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
⋃
i
∈
I
{
f
i
−
1
(
U
)
∣
U
∈
Open
(
Y
i
)
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U)\mid U\in \operatorname {Open} (Y_{i})\}}
여기서
Open
(
Y
i
)
{\displaystyle \operatorname {Open} (Y_{i})}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
열린집합 들의 족)이다.
마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
끝 위상 은
f
i
{\displaystyle f_{i}}
연속 함수 로 만드는 가장 섬세한 위상 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
U
∈
Open
(
X
)
⟺
∀
i
∈
I
:
f
−
1
(
U
)
∈
Open
(
Y
i
)
{\displaystyle U\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in \operatorname {Open} (Y_{i})}
집합
X
{\displaystyle X}
가측 공간 들의 족
(
Y
i
,
Σ
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
시작 시그마 대수 (영어 : initial sigma-algebra )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
가측 함수 로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
⋃
i
∈
I
{
f
i
−
1
(
S
)
∣
S
∈
Σ
i
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(S)\mid S\in \Sigma _{i}\}}
로 생성된다.
마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
가측 공간 들의 족
(
Y
i
,
Σ
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
끝 시그마 대수 (영어 : final sigma-algebra )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
가측 함수 로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
S
∈
Σ
⟺
∀
i
∈
I
:
f
−
1
(
S
)
∈
Σ
i
{\displaystyle S\in \Sigma \iff \forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in \Sigma _{i}}
집합
X
{\displaystyle X}
균등 공간 들의 족
(
Y
i
,
E
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
시작 균등 구조 (영어 : initial uniform structure )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
균등 연속 함수 로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
⋃
i
∈
I
{
f
i
−
1
(
E
)
∣
E
∈
E
i
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(E)\mid E\in {\mathcal {E}}_{i}\}}
로 생성된다.
마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
균등 공간 들의 족
(
Y
i
,
E
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
끝 균등 구조 (영어 : final uniform structure )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
균등 연속 함수 로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
∈
E
⟺
∀
i
∈
I
:
f
i
−
1
(
E
)
∈
E
i
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}^{-1}(E)\in {\mathcal {E}}_{i}}
집합
X
{\displaystyle X}
유계형 집합 들의 족
(
Y
i
,
B
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
시작 유계형 (영어 : initial bornology )은
f
i
{\displaystyle f_{i}}
X
{\displaystyle X}
B
∈
B
⟺
∀
i
∈
I
:
f
i
(
B
)
∈
B
i
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}(B)\in {\mathcal {B}}_{i}}
마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
유계형 집합 들의 족
(
Y
i
,
B
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
끝 유계형 (영어 : final bornology )은
f
i
{\displaystyle f_{i}}
X
{\displaystyle X}
⋃
i
∈
I
{
f
i
(
B
)
:
B
∈
B
i
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}_{i}\}}
로 생성된다.
집합
X
{\displaystyle X}
원순서 집합 들의 족
(
Y
i
,
≲
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
시작 원순서 (영어 : initial preorder )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
원순서 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
a
≲
b
⟺
∀
i
∈
I
:
f
i
(
a
)
≲
i
f
i
(
b
)
{\displaystyle a\lesssim b\iff \forall i\in I\colon f_{i}(a)\lesssim _{i}f_{i}(b)}
마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
원순서 집합 들의 족
(
Y
i
,
≲
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
고유 모임 일 수 있다.) 그렇다면
X
{\displaystyle X}
끝 원순서 (영어 : final preorder )는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
원순서 이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
≲
{\displaystyle \lesssim }
⋃
i
∈
I
{
(
f
i
(
a
)
,
f
i
(
b
)
)
:
a
≲
i
b
,
a
,
b
∈
Y
i
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{(f_{i}(a),f_{i}(b))\colon a\lesssim _{i}b,\;a,b\in Y_{i}\}}
로 생성된다.
1974년에 호르스트 헤를리히(독일어 : Horst Herrlich , 1937~2015)가 도입하였다.[2]
↑ 가 나 Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories” . 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. arXiv :1310.0903 . Bibcode :2013arXiv1310.0903G . ISSN 1201-561X . Zbl 1305.18005 . ↑ 가 나 다 라 마 바 Herrlich, Horst (1974년 6월). “Topological functors”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 4 (2): 125–142. doi :10.1016/0016-660X(74)90016-6 . ↑ Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. doi :10.1016/0166-8641(84)90029-4 . ISSN 0166-8641 . ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stijn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486 . American Mathematical Society. doi :10.1090/conm/486/9506 . ISBN 978-0-8218-4279-9 MR 2521941 . ↑ Hoffmann, Rudolf-E. (1975). “Topological functors and factorizations”. 《Archives of Mathematics》 (영어) 26 : 1–7. doi :10.1007/BF01229694 . ISSN 0003-889X . MR 0428255 . Zbl 0309.18002 . ↑ 가 나 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0 MR 472024 . Zbl 0891.54001 .
