가환환 R {\displaystyle R} 결합 대수 A {\displaystyle A} a ∈ A {\displaystyle a\in A} 분해 집합 (分解集合, 영어 : resolvent set )은 다음과 같은 집합이다.[1] :252, Definition 10.10
ρ ( a ) = { λ ∈ R : λ − a ∈ Unit ( A ) } {\displaystyle \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}} 여기서 Unit ( A ) {\displaystyle \operatorname {Unit} (A)} A {\displaystyle A} 가역원군 이다. 즉, λ − a {\displaystyle \lambda -a} 가역원 이 되는 스칼라 λ {\displaystyle \lambda } 여집합 을 a {\displaystyle a} 스펙트럼 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} [1] :252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)
σ ( a ) = R ∖ ρ ( a ) = { λ ∈ R : λ − a ∉ Unit ( A ) } ⊆ R ( a ∈ A ) {\displaystyle \sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)} 이 경우, 원소 ( λ − a ) − 1 ∈ A {\displaystyle (\lambda -a)^{-1}\in A} a {\displaystyle a} λ {\displaystyle \lambda } 분해식 (分解式, 영어 : resolvent )이라고 한다.
K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 실수체 또는 복소수체 이며, A {\displaystyle A} K {\displaystyle \mathbb {K} } 결합 대수 라고 하자. 이 경우, 원소 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 스펙트럼 반지름 (spectrum半지름, 영어 : spectral radius )은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한 이다.[1] :253, Definition 10.10
s p e c r a d ( a ) = sup λ ∈ σ ( a ) | λ | {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\sup _{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |} 만약 A {\displaystyle A} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 대수 라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합 이므로, 이 경우 상한 은 최댓값이 된다.
유계 작용소의 스펙트럼
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K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 실수체 또는 복소수체 라고 하자. K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 유계 작용소 의 집합 B ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 대수 를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리 에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소 의 역함수 는 유계 작용소 이다. 즉, B ( V , V ) {\displaystyle \operatorname {B} (V,V)} 가역원 인 것은 전단사 함수 인 것과 동치 이다.
바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수 의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 유계 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} σ ( T ) {\displaystyle \sigma (T)} 분리합집합 으로 분해된다.
σ ( T ) = σ p ( T ) ⊔ σ r ( T ) ⊔ σ c ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\text{p}}(T)\sqcup \sigma _{\text{r}}(T)\sqcup \sigma _{\text{c}}(T)} 이 성분들은 각각
점 스펙트럼 (點spectrum, 영어 : point spectrum ) σ p ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)} 잔여 스펙트럼 (殘餘spectrum, 영어 : residual spectrum ) σ r ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)} 연속 스펙트럼 (連續spectrum, 영어 : continuous spectrum ) σ c ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)} 이며, 다음과 같다.
어떤 수 λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } λ ∈ σ ( T ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)} T − λ {\displaystyle T-\lambda } 전단사 함수 이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
T − λ {\displaystyle T-\lambda } 단사 함수 가 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 점 스펙트럼 σ p ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)} λ {\displaystyle \lambda } T {\displaystyle T} 고윳값 T v = λ v {\displaystyle Tv=\lambda v} 고유 벡터 v ∈ V {\displaystyle v\in V} T − λ {\displaystyle T-\lambda } 단사 함수 이지만, 전사 함수 가 아니다.
T − λ {\displaystyle T-\lambda } 단사 함수 이지만 그 상 이 조밀 집합 이 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 잔여 스펙트럼 σ r ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)} T − λ {\displaystyle T-\lambda } 단사 함수 이며 그 상 이 조밀 집합 이지만 전사 함수 가 아니다. 이러한 λ {\displaystyle \lambda } 연속 스펙트럼 σ c ( T ) {\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)} ( T − λ ) − 1 : ( T − λ ) ( V ) → V {\displaystyle (T-\lambda )^{-1}\colon (T-\lambda )(V)\to V} V {\displaystyle V} 조밀 집합 ( T − λ ) ( V ) {\displaystyle (T-\lambda )(V)}
복소수 바나흐 대수 의 원소의 스펙트럼은 공집합 이 아니다.[1] :253, Theorem 10.13(a) [2] :756, Theorem 1
증명: [2]
복소수 바나흐 대수 A {\displaystyle A} a ∈ A {\displaystyle a\in A} 귀류법 을 사용하여 σ ( a ) = ∅ {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing } 연속 쌍대 공간 A ′ {\displaystyle A'} f ∈ A ′ {\displaystyle f\in A'}
그렇다면, 이제 함수
h : R + → C {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} } h : r ↦ ∫ 0 2 π f ( ( r exp ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ {\displaystyle h\colon r\mapsto \int _{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta } 를 정의하자. 그렇다면,
d h d r = ∫ 0 2 π ∂ ∂ r f ( ( r exp ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ = ∫ 0 2 π f ( a ( r 2 exp ( 2 i θ ) ) exp ( i θ ) d θ = 1 i r ∫ 0 2 π f ( a ( r 2 exp ( 2 i θ ) ) i r exp ( i θ ) d θ = 1 i r ∫ 0 2 π ∂ ∂ θ f ( ( r exp ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}} 이다. (이는 피적분 함수가 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} h {\displaystyle h} 상수 함수 이며, 그 값은
lim r → 0 h ( r ) = − 2 π f ( a − 1 ) {\displaystyle \lim _{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})} 이다.
이제, 임의의 r > ‖ a ‖ {\displaystyle r>\|a\|}
2 π | f ( a − 1 ) | = | h ( r ) | ≤ ∫ 0 2 π | f ( ( r exp ( i θ ) − a ) − 1 ) d θ ≤ 2 π ‖ f ‖ r − ‖ a ‖ {\displaystyle 2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int _{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}} 가 되므로, 사실 f ( a − 1 ) = 0 {\displaystyle f(a^{-1})=0} f ∈ A ′ {\displaystyle f\in A'} f ( a − 1 ) = 0 {\displaystyle f(a^{-1})=0} a − 1 ≠ 0 {\displaystyle a^{-1}\neq 0}
복소수 바나흐 대수 A {\displaystyle A} a ∈ A {\displaystyle a\in A} 겔판트 공식 (영어 : Gelfand formula )에 의하여 주어진다.[3] :195–197
s p e c r a d ( a ) = lim n → ∞ ‖ a n ‖ n {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}} (반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼은 공집합 일 수 있다.)
K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 위의 유계 작용소 T {\displaystyle T} K {\displaystyle \mathbb {K} } 콤팩트 집합 이다.[1] :253, Theorem 10.13(a)
| λ | ≤ ‖ T ‖ ( ∀ λ ∈ σ ( T ) ) {\displaystyle |\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))} 이다. 여기서 ‖ T ‖ {\displaystyle \|T\|} 작용소 노름 이다.
유한 차원
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V = K n {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 이라고 하자. 그렇다면, K {\displaystyle \mathbb {K} } 선형 변환 V → V {\displaystyle V\to V} 단사 함수 이거나 전사 함수 인 것은 전단사 함수 인 것과 동치 이다 (차원 정리 ). 이에 따라, 유한 차원 K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
특히, 선형 변환 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} 행렬 )의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값 들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.
콤팩트 작용소
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복소수 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 콤팩트 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V}
연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 { 0 } {\displaystyle \{0\}}
잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값 )으로 구성된다.
정규 작용소
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복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소 의 잔여 스펙트럼은 공집합 이다.
복소수 힐베르트 공간 V {\displaystyle V} 정규 작용소 T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V}
s p e c r a d ( T ) = sup v ∈ V ∖ { 0 } | ⟨ v , T v ⟩ | ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (T)=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}} 보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소 의 수치 반지름 (數値半지름, 영어 : numerical radius )이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소 를 스펙트럼형 작용소 (spectrum型作用素, 영어 : spectraloid operator )라고 한다.
K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 대수 A {\displaystyle A} a ∈ A {\displaystyle a\in A} z ∈ ρ ( a ) {\displaystyle z\in \rho (a)} ‖ a ‖ < | z | {\displaystyle \|a\|<|z|} 노이만 급수 (Neumann級數, 영어 : Neumann series )가 (노름 으로 정의되는 거리 위상 에서) 수렴한다.[1] :250, Chapter 10
1 z − a = 1 z ∑ n = 0 ∞ ( a / z ) n {\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}}
실수 행렬
( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} 는 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 공집합 이다. 그러나 이는 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} { ± i } {\displaystyle \{\pm \mathrm {i} \}}
복소수 힐베르트 공간 V = ℓ 2 ( C ) {\displaystyle V=\ell ^{2}(\mathbb {C} )}
T : ( x 1 , x 2 , … ) ↦ ( 0 , x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle T\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )} 은 유계 작용소 이며, 사실 콤팩트 작용소 이다. T {\displaystyle T} 고윳값 을 가지지 않지만, T {\displaystyle T} 전사 함수 가 아니므로 T {\displaystyle T} { 0 } {\displaystyle \{0\}} T {\displaystyle T} 상 은 사실 조밀 집합 조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
임의의 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 르베그 공간
V = L p ( X , Σ , μ ; K ) {\displaystyle V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 을 이룬다. 그 위의 가측 함수
f : ( X , Σ ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} 의 상 이 유계 집합 이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} f ↾ ( X ∖ N ) {\displaystyle f\upharpoonright (X\setminus N)} 유계 집합 인 것만으로도 족하다.) 여기서 B ( K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )} 보렐 시그마 대수 이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
T f : V → V {\displaystyle T_{f}\colon V\to V} T f : g ↦ f g {\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto fg} 는 K {\displaystyle \mathbb {K} } 유계 작용소 이다.
이제, 집합
e s s r a n f ⊆ K {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K} } 를 다음과 같이 정의하자.
λ ∈ e s s r a n f ⟺ def ∀ ϵ ∈ R + : μ ( f − 1 ( ball K ( λ , ϵ ) ) ) > 0 {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0} 그렇다면, e s s r a n f = σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f=\sigma (T_{f})}
증명 (e s s r a n f ⊇ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\supseteq \sigma (T_{f})}
임의의 λ ∈ K ∖ e s s r a n f {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} \setminus \operatorname {ess\,ran} f}
μ ( f − 1 ( ball K ( λ , ϵ ) ) ) = 0 {\displaystyle \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0} 인 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}
그렇다면, 가측 함수
g : ( X , Σ ) → ( K , B ( K ) ) {\displaystyle g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))} g : x ↦ 1 λ − f ( x ) {\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}} 를 생각하자. 그렇다면,
T g ∘ ( λ − T f ) = 1 {\displaystyle T_{g}\circ (\lambda -T_{f})=1} 이다. 따라서 λ ∈ ρ ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \rho (T_{f})}
증명 (e s s r a n f ⊆ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})} p < ∞ {\displaystyle p<\infty }
임의의 λ ∈ e s s r a n f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} 가측 함수 의 열
g n = 1 μ ( f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ) 1 / p χ f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ∈ L p ( X , Σ , μ ; K ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle g_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 정의하자. (여기서 χ {\displaystyle \chi } 지시 함수 이다.)
그렇다면,
( ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L p ) p = 1 μ ( f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ) ∫ f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) | λ − f | p d μ ≤ 1 n p {\displaystyle \left(\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}} 이므로, 특히
lim n → ∞ ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L p = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}=0} 이다. 이에 따라, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 유계 작용소 일 수 없다.
증명 (e s s r a n f ⊆ σ ( T f ) {\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})} p = ∞ {\displaystyle p=\infty }
임의의 λ ∈ e s s r a n f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} 가측 함수 의 열
g n = χ f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ∈ L ∞ ( X , Σ , μ ; K ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle g_{n}=\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 정의하자. (여기서 χ {\displaystyle \chi } 지시 함수 이다.)
그렇다면,
‖ ( λ − T f ) g n ‖ L ∞ = e s s s u p ( | λ − f | ↾ f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ) ≤ 1 / n {\displaystyle \|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n} 이므로, 특히
lim n → ∞ ‖ ( λ − T f ) g n ‖ L ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0} 이다. 이에 따라, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 유계 작용소 일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
임의의 λ ∈ e s s r a n f {\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f} μ − 1 ( { λ } ) > 0 {\displaystyle \mu ^{-1}(\{\lambda \})>0} λ ∈ σ p ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})} λ ∈ σ c ( T f ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})} T f {\displaystyle T_{f}}
증명 (μ ( f − 1 ( { λ } ) ) > 0 ⟹ λ ∈ σ p ( T f ) {\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0\implies \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})}
지시 함수 χ f − 1 ( { λ } ) {\displaystyle \chi _{f^{-1}(\{\lambda \})}} λ {\displaystyle \lambda } 고유 벡터 이다.
증명 (μ ( f − 1 ( { λ } ) ) = 0 ⟹ λ ∈ σ c ( T f ) {\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0\implies \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})}
임의의
g ∈ L p ( X , Σ , μ ; K ) {\displaystyle g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )} 에 대하여, 다음과 같은 가측 함수 의 열을 정의하자.
h n = g λ − f χ X ∖ f − 1 ( ball K ( λ , 1 / n ) ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle h_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi _{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 여기서 χ {\displaystyle \chi } 지시 함수 이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리 에 따라
( λ − T f ) h n → L p g {\displaystyle (\lambda -T_{f})h_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g} 이다. 즉, λ − T f {\displaystyle \lambda -T_{f}} 상 은 항상 조밀 집합 이다.
결합 대수
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가환환 R {\displaystyle R} 결합 대수 로 간주하였을 때, 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R}
σ ( r ) = R ∖ ( r + Unit ( R ) ) {\displaystyle \sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))} 이다. (여기서 Unit ( R ) = { r ∈ R : ∃ r − 1 } {\displaystyle \operatorname {Unit} (R)=\{r\in R\colon \exists r^{-1}\}} 가역원군 이다.)
사원수 대수 H {\displaystyle \mathbb {H} } 실수 바나흐 대수 를 이루며, 사원수 a ∈ H {\displaystyle a\in \mathbb {H} }
σ ( a ; R ) = R ∩ { a } {\displaystyle \sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}} (특히, 만약 a ∉ R ⊆ H {\displaystyle a\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} } σ ( a ) = ∅ {\displaystyle \sigma (a)=\varnothing }
마찬가지로, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 실수 바나흐 대수 로 간주하였을 때, z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
σ ( z ; R ) = R ∩ { z } {\displaystyle \sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}} (특히, 만약 z ∉ R ⊆ H {\displaystyle z\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} } σ ( z ) = ∅ {\displaystyle \sigma (z)=\varnothing } C {\displaystyle \mathbb {C} } 복소수 바나흐 대수 로 간주하였을 때, σ ( z ; C ) = { z } {\displaystyle \sigma (z;\mathbb {C} )=\{z\}}
연속 함수 대수
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콤팩트 하우스도르프 공간 X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 대수 C 0 ( X , K ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} f ∈ C 0 ( X , K ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )} 상 이다.
σ ( f ) = { f ( x ) : x ∈ X } ⊆ K {\displaystyle \sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K} }
양자역학 에서, 복소수 힐베르트 공간
H = L 2 ( R ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )} 위에 매끄러운 함수 인 퍼텐셜
V : R → R {\displaystyle V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 이 주어졌으며,
inf x ∈ R V ( x ) > ∞ {\displaystyle \inf _{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty } 이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
H = − d 2 d x 2 + V ( x ) {\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)} 를 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
α ∈ C , ℜ ( α ) ≤ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0} 에 대하여 유계 작용소
exp ( α H ) : H → H {\displaystyle \exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소 이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
σ ( exp ( α H ) ) = { exp ( α E ) : E ∈ R } {\displaystyle \sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}} 의 꼴이다. 이에 따라, E {\displaystyle E} H {\displaystyle H}
ℜ ( α ) < 0 {\displaystyle \Re (\alpha )<0} exp ( α H ) {\displaystyle \exp(\alpha H)}
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d4f000699693f8238f00ffe9844338c87e72aa)
