이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

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국소 동차 원소

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가환환  가 주어졌을 때,  -등급  -대수  의 원소  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.[1]:233, Lemma 5.1.4[2]:149, §III.6.1

  •  ,  인 원소  가 존재한다.
  • 모든 소 아이디얼  에 대하여,  는 동차 원소이다. 여기서  환의 스펙트럼이며,   에서의 가환환의 국소화이다.
  • 모든 극대 아이디얼  에 대하여,  는 동차 원소이다. 여기서   에서의 가환환의 국소화이다.

(물론  인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군   가역원군  의 부분군을 이룬다.

 

국소 동차 가역원  가 주어졌으며,  가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때,  이며, 다음과 같은  -자기 동형을 정의할 수 있다.[1]:234[2]:158, §III.6.5

 
 

여기서

 

  등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

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가환환   위의 클리퍼드 대수  클리퍼드 군(영어: Clifford group)

 

은 다음과 같은 원소  로 구성된, 가역원군부분군이다.[2]:228, §IV.6.1

  •  가역원이며 국소 동차 원소이다.
  •  이다.
  • 모든  에 대하여,  이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환   위의 클리퍼드 대수  특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

 

은 다음과 같다.[2]:228, §IV.6.1

 

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

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클리퍼드 군  의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군핀 군(영어: pin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2

 

마찬가지로, 다음과 같은 부분군스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2

 

성질

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임의의 가환환   위의 가군   위의 이차 형식  에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 

체 위의 클리퍼드 군

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 라고 하고,  가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며,  가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은  -대수군짧은 완전열을 이룬다.

 

여기서

  •   에서 1의 제곱근대수군이다. 만약  의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
  •    속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군   제곱 유군이다.
  • 준동형  은 스피너 노름이다. 마찬가지로   역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
  •  는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군  의 부분군이다.
  • 준동형  는 클리퍼드 군의   위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다.   역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

 

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

 

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

 

여기서

  •  는 딕슨 불변량이며,  는 그 제한이다.
  •  는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며,  는 그 제한이다.

실수 계수

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 이며,   차원 실수 벡터 공간이며,  비퇴화 이차 형식일 때,  가역원군   차원 리 군을 이룬다. 만약  음의 정부호 이차 형식이라면,  는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분  지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

 
 

즉,   차원 리 군이다. 전체 가역원군   차원 리 군이므로, 이는 여차원  부분군이다.

직교군과의 관계

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정의에 따라, 클리퍼드 군    위의  -선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식  를 보존하며, 따라서 직교군

 

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

 

클리퍼드 군   부분 집합으로 포함한다 (  가역원군). 이 경우

 
 

이다. 즉,  의 작용은  를 축  에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

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 이며,  가 유한 차원 벡터 공간이며,  비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

 
 

즉, 이는  로 인하여 생성되는  -선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약  표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

 

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

 

갈루아 코호몰로지와의 관계

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  위의 유한 차원 벡터 공간   위의 비퇴화 이차 형식  에 대하여, 짧은 완전열

 

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지  긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

 

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

 

등은 단순히   계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

 

제곱 유군이며, 연결 사상  는 스피너 노름이 된다.

같이 보기

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각주

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  1. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4. 
  2. Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008. 

외부 링크

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