중심화 부분 모노이드
추상대수학에서 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.
군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.
정의 편집
모노이드 의 부분 집합 의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 의 부분 집합이다.[1]:41, §1.4[2]:AI.7, Définition A1.9
이는 의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 으로 표기한다.)
의 이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.[2]:AI.8
성질 편집
일반적 모노이드 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서 는 모노이드의 중심이다.
이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
를 이룬다. (여기서 은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, 은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)
이중 중심화 부분 모노이드 편집
일반적 모노이드 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
를 이룬다.
특히, 집합 위에 폐포
를 정의하면, 이는 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.
군 편집
군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.
군 의 부분 집합 의 중심화 부분군은 항상 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.
군 의 부분군 의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, 영어: N/C theorem).
여기서 는 자기 동형군이다.
한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.
군 의 부분군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
임의의 두 군 , 및 군 준동형
에 대하여, 반직접곱 및 포함 사상 을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.
환 편집
환 의 부분 집합 의 (곱셈에 대한) 가환식 는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.
임의의 나눗셈환 의 임의의 부분 집합 에 대하여, 중심화 부분환 역시 나눗셈환이다.
가군 편집
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
을 정의할 수 있으며, 은 -왼쪽 가군을 이룬다.
또한, 자연스러운 환 준동형
이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라
이다. (여기서 우변은 -오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)
만약 가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약
이라면, 을 균형 잡힌 가군이라고 한다.
폰 노이만 대수 편집
복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 의 부분 대합 대수 를 생각하자. (즉, 는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.
(다만, 의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)
예 편집
만약 이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 에 대하여 이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.
만약 가 로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.
사원수 대수 에서, 의 중심화 부분환은 이다. 보다 일반적으로, 임의의 에 대하여, 를 생각하면, 이다. 만약 이라면 는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.
참고 문헌 편집
- ↑ Jacobson, Nathan (1985). 《Basic algebra I》 (영어) 2판. W. H. Freeman and Company.
- ↑ 가 나 다 라 Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson.
외부 링크 편집
- “Centralizer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Centeralizer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicommutant theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Centralizer of ring subset is subring”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Centralizer”. 《ProofWiki》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “An alternate characterization of centralizer”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2007년 1월 23일). “Centralizer is inclusion-reversing”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 5월 5일). “Normalizer and centralizer commute with inner automorphisms”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “The centralizer and normalizer of a nonnormal semidirect factor in a normal semidirect factor are equal”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 6월 24일). “In a semidirect product, the centralizer of the normal factor in the nonnormal factor is the kernel of the defining homomorphism”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 7월 6일). “Two consequences of Frattini’s argument regarding normalizers and centralizers”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “Basic properties of centralizers in a ring”. 《Project Crazy Project》 (영어).
- Bloomfield, Nathan (2010년 7월 30일). “In a division ring, every centralizer is a division ring”. 《Project Crazy Project》 (영어).