프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

정의

가환환 $R$의 환의 표수가 $p>0$이며, $p$가 소수라고 하자. 그렇다면 $R$의 프로베니우스 사상 $\operatorname {Frob} _{R}\colon R\to R$은 다음과 같다.

$\operatorname {Frob} _{R}\colon r\mapsto r^{p}$

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

$(r+s)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}r^{i}s^{p-i}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R\qquad \left(\because p\mid {\binom {p}{i}}\qquad \forall 1\leq i\leq p-1\right)$

이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, $(1+1)^{p}=2^{p}\neq 2=1^{p}+1^{p}$이다).

스킴의 프로베니우스 사상

소수 $p$가 주어졌을 때, 유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 위의 스킴 $X/\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}$가 주어졌다고 하자. $X$의 임의 아핀 부분 스킴 $U$에 대하여, $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$는 $K$-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 $\mathbb {F} _{p}$-스킴 사상 $\operatorname {Frob} _{X}\colon X\to X$을 $X$의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.^{:94, Definition 3.2.21} 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

$\operatorname {Frob} _{/\mathbb {F} _{p}}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}\Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}$

여기서 $\operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}$는 $\mathbb {F} _{p}$-스킴의 범주 $\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}$의 항등 함자이다.

산술·기하 프로베니우스 사상

$\mathbb {F} _{p}$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f\colon X\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$의 절대 프로베니우스 사상 $\operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S$와의 올곱을 취하면

$X^{(p/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}$

를 정의할 수 있다. 이는 함자

$\operatorname {Sch} /S\to \operatorname {Sch} /S$

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

$\operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X$

을 산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.

${\begin{matrix}X^{(p/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} }{\to }}&S\end{matrix}}$

만약 $S$의 절대 프로베니우스 사상 $\operatorname {Frob} _{S}\colon S\to S$이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, $S$가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 $\operatorname {Frob} _{S}^{-1}$에 대한 올곱

$X^{(p^{-1}/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}$

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

$\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X$

을 기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.

${\begin{matrix}X^{(p^{-1}/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{g}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} ^{-1}}{\to }}&S\end{matrix}}$

상대 프로베니우스 사상

$\mathbb {F} _{p}$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f\colon X\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 $\operatorname {Frob} _{/S}\colon X\to X^{(p/S)}$이 존재한다.

${\begin{matrix}&&X\\&{\scriptstyle f}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !&\searrow \scriptstyle {\operatorname {Frob} }\\S&\leftarrow &X^{(p/S)}&{\underset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\&\scriptstyle {\operatorname {Frob} }\searrow &&\swarrow \scriptstyle f\\&&S\end{matrix}}$

이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.^{:94, Definition 3.2.23} 이는 자연 변환

$\operatorname {Frob} _{/S}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}\to \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}$

을 이룬다.

물론, $S=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}$라면 (또는 보다 일반적으로 $\operatorname {Frob} _{S}=\operatorname {id} _{S}$라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

성질

소수 표수의 가환환 $R$ 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 $R$가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 $K$에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 $K$가 완전체인 것이다.

고정점

유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

$a^{p}=a\qquad \forall a\in \mathbb {F} _{p}$

양의 표수 $p>0$의 체 $K/\mathbb {F} _{p}$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 $x^{p}-x\in K[x]$의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 $p$차 다항식의 근의 수는 $p$개 이하이며, $\mathbb {F} _{p}\subseteq K$는 이미 $p$개의 근을 이루므로, $K$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 $\mathbb {F} _{p}$이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 $p>0$의 정역 $D$에 대해서, 항상 분수체 $\operatorname {Frac} D\supseteq D\supseteq \mathbb {F} _{p}$를 취할 수 있으므로, 표수 $p$의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 $\mathbb {F} _{p}$이다.

$\{a\in D\colon a^{p}=a\}=\mathbb {F} _{p}$

갈루아 군

유한체 $\mathbb {F} _{p}$의 유한 확대 $\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}$의 갈루아 군은 순환군이다.

$\operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n$

프로베니우스 자기 동형

$\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})$

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 $\mathbb {F} _{p^{m}}$의 유한 확대 $\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{p^{m}}$의 갈루아 군은 순환군

$\operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})\cong \mathbb {Z} /n$

이며, 프로베니우스 자기 동형의 $m$제곱

$\overbrace {\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}} ^{m}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})$

은 그 생성원을 이룬다.

스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$ 위의 스킴 $X/\mathbb {F} _{p^{n}}$가 주어졌다고 하자. 유한체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$은 완전체이므로 $\mathbb {F} _{p^{n}}$의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, $X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}$ 및 $X^{(p^{-1}/\mathbb {F} _{p^{n}})}$은 $X$와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 $X$ 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, $X$의 $\mathbb {F} _{p^{n}}$-점들의 집합 $X(\mathbb {F} _{p^{n}})$ 위에는 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n$(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

$(\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {\operatorname {Frob} }}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)$

또한, $X(\mathbb {F} _{p^{n}})$ 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

$(\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X{\xrightarrow {\operatorname {Frob_{a}} }}X)$

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 $\operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/\mathbb {F} _{p^{n}}}\colon (X^{(p/\mathbb {F} _{p^{n}})}\cong X)\to X$은 $\mathbb {F} _{p^{n}}$-점의 집합 위의 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n$의 작용을 나타낸다.

에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 위의 스킴 $X/\mathbb {F} _{p}$가 주어졌다고 하자. ${\bar {X}}=X\otimes _{\mathbb {F} _{p}}\operatorname {Spec} {\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ 위의 작은 에탈 위치 ${\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$를 생각하자. 그렇다면, $X$ 위의 상대 프로베니우스 사상

$\operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}$

과 기하 프로베니우스 사상

$\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}X\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}$

은 토포스 ${\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$ 위의 같은 기하학적 사상

$f\colon \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }\to {\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$을 유도한다.

특히, ${\bar {X}}_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$ 위의 아벨 군 값의 층 ${\mathcal {F}}$이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 ${\mathcal {F}}$의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

$\operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}\colon \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};{\mathcal {F}})\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};f^{*}{\mathcal {F}})$

수론적 성질

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

국소체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 비아르키메데스 국소체 $L$, $K$ 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 $L/K$

대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{L}$의 유일한 극대 아이디얼을 ${\mathfrak {P}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{L}$라고 하고, ${\mathcal {O}}_{K}$의 유일한 극대 아이디얼을 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}$라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}$와 ${\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}$는 둘 다 유한체이며,

$[{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]=[L:K]$

이다. (여기서 $[:]$는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

$\operatorname {Frob} _{L/K}\in \operatorname {Gal} \left({\frac {{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}{{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}}\right)$

가 존재하며, 이를 $L/K$의 프로베니우스 원소라고 한다.

$\operatorname {Frob} _{L/K}(x)\equiv x^{|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|}{\pmod {\mathfrak {P}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{L}$

대역체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $K/\mathbb {Q}$가 갈루아 확대인 대수적 수체 $K$
• 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} ({\mathcal {O}}_{K})$ (${\mathcal {O}}_{K}$는 대수적 정수환). 소수 $p$에 대하여 ${\mathfrak {p}}\mid p$이며, ${\mathfrak {p}}\mid p$가 비분기라고 하자.

${\mathfrak {p}}$가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )$은 ${\mathfrak {p}}$를 고정시킨다. 즉, ${\mathfrak {p}}$에서의 분해군(영어: decompsition group)

$G_{\mathfrak {p}}=\{g\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\colon g\cdot {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\}$

은 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ 전체이다.

이 경우,

$g(x)\equiv x^{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}$

를 만족시키는 유일한 원소

$g\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})$

가 존재한다. (여기서 $K_{\mathfrak {p}}$는 ${\mathfrak {p}}$진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 $\mathbb {F} _{p}$인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 ${\mathfrak {p}}$의 프로베니우스 원소 $\operatorname {Frob} _{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})$라고 한다.

예

유한체 계수의 유리 함수체 $\mathbb {F} _{p}(t)$의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, $t$는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 $\mathbb {F} _{p}(t)$는 완전체가 아니다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.

외부 링크

• “Frobenius endomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Frobenius automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Frobenius morphism”. 《nLab》 (영어). 
• Ben-Zvi, David. “The Frobenius page” (영어). 
• 이철희. “프로베니우스 원소”. 《수학노트》. 
• “Geometric vs arithmetic Frobenius” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 10일에 확인함.