M
{\displaystyle M}
d
{\displaystyle d}
매끄러운 다양체 이고, 그 위에 올이 리 군
G
{\displaystyle G}
주다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
G
{\displaystyle G}
리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
비퇴화 쌍선형 형식
K
:
g
×
g
→
R
{\displaystyle K\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }
킬링 형식 의 스칼라배를 사용한다.)
BF 모형 은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론 이다.
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
주접속 이다. 즉, 게이지 보손 에 해당한다.
B
∈
Ω
d
−
2
(
M
;
g
)
{\displaystyle B\in \Omega ^{d-2}(M;{\mathfrak {g}})}
M
{\displaystyle M}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
(
d
−
2
)
{\displaystyle (d-2)}
미분 형식 이다.두 장 모두 게이지 대칭 을 가진다.[1]
A
↦
A
+
d
α
+
[
A
,
α
]
{\displaystyle A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]}
B
↦
B
+
[
B
,
α
]
+
d
Λ
+
[
A
,
Λ
]
{\displaystyle B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]}
여기서
α
∈
Ω
1
(
M
;
g
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}
Λ
∈
Ω
d
−
3
(
M
;
g
)
{\displaystyle \Lambda \in \Omega ^{d-3}(M;{\mathfrak {g}})}
B
{\displaystyle B}
미분 형식 전기역학 에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.
BF 모형의 작용 은 다음과 같다.
S
=
∫
M
K
(
B
∧
F
)
{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F)}
여기서
F
=
d
A
A
{\displaystyle F=d_{A}A}
A
{\displaystyle A}
곡률 (장세기)이다.
만약
d
=
3
,
4
{\displaystyle d=3,4}
우주 상수 ”
λ
{\displaystyle \lambda }
[3]
S
=
∫
M
K
(
B
∧
F
+
λ
B
∧
B
)
(
d
=
4
)
{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B)\qquad (d=4)}
S
=
∫
M
K
(
B
∧
F
+
λ
B
∧
B
∧
B
)
(
d
=
3
)
{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B\wedge B)\qquad (d=3)}
우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식 은 다음과 같다.
F
=
0
{\displaystyle F=0}
d
A
B
=
0
{\displaystyle d_{A}B=0}
따라서, 고전적으로
A
{\displaystyle A}
평탄 주접속 이고,
B
{\displaystyle B}
닫힌 미분 형식 이다.
우주 상수 항을 추가하면,
d
=
4
{\displaystyle d=4}
오일러-라그랑주 방정식 은 대신 다음과 같다.
F
+
2
λ
B
=
0
{\displaystyle F+2\lambda B=0}
d
A
B
=
0
{\displaystyle d_{A}B=0}
편의상, 시공간
M
=
R
×
Σ
{\displaystyle M=\mathbb {R} \times \Sigma }
dim
Σ
=
d
−
1
{\displaystyle \dim \Sigma =d-1}
을 생각하자. 그렇다면,
M
{\displaystyle M}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
호모토피 동치 이므로, 사실
Σ
{\displaystyle \Sigma }
G
{\displaystyle G}
주다발
P
↠
Σ
{\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma }
이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간
M
Σ
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\Sigma }}
M
Σ
=
T
∗
A
Σ
flat
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}
여기서
A
Σ
flat
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}
P
↠
Σ
{\displaystyle P\twoheadrightarrow \Sigma }
평탄 주접속 들의 공간이다.이 경우, 주접속
A
μ
a
{\displaystyle A_{\mu }^{a}}
일반화 운동량 은
B
μ
1
⋯
μ
d
−
2
a
{\displaystyle B_{\mu _{1}\dotsb \mu _{d-2}}^{a}}
{
B
μ
1
…
μ
d
−
2
a
(
x
)
,
A
b
μ
d
−
1
(
y
)
}
=
δ
b
a
vol
μ
1
…
μ
d
−
1
Σ
δ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \{B_{\mu _{1}\dotso \mu _{d-2}}^{a}(x),A_{b\mu _{d-1}}(y)\}=\delta _{b}^{a}\operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }\delta (x,y)}
여기서
vol
μ
1
…
μ
d
−
1
Σ
{\displaystyle \operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
부피 형식 이다.따라서, 그 힐베르트 공간 은 단순히
H
=
L
2
(
A
Σ
flat
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}({\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}})}
이다.
천-사이먼스 이론 과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서
Σ
{\displaystyle \Sigma }
리만 곡면 의 구조를 가지므로,
A
Σ
flat
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}
켈러 다양체 의 구조를 가지며,
A
Σ
flat
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}
위상 공간 이며,
A
{\displaystyle A}
일반화 운동량 이 된다. 그러나 BF 이론에서는
A
Σ
flat
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}
우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상
F
=
0
{\displaystyle F=0}
A
Σ
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }}
위상 공간 은
T
∗
A
Σ
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }}
F
+
2
λ
B
=
0
{\displaystyle F+2\lambda B=0}
을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는
G
{\displaystyle G}
게이지 변환 에 대하여 불변인,
A
Σ
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Sigma }}
ψ
{\displaystyle \psi }
0
=
(
F
μ
ν
a
−
2
i
λ
vol
μ
ν
ρ
Σ
δ
δ
A
ρ
a
)
ψ
{\displaystyle 0=\left(F_{\mu \nu }^{a}-2\mathrm {i} \lambda \operatorname {vol} _{\mu \nu \rho }^{\Sigma }{\frac {\delta }{\delta A_{\rho a}}}\right)\psi }
을 만족시키는 것이다. 만약
Σ
{\displaystyle \Sigma }
G
{\displaystyle G}
주다발 이 (위상수학적으로) 자명한 올다발 이라면, 이 편미분 방정식 은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로
ψ
(
A
)
=
exp
(
−
i
S
CS
(
A
)
/
4
λ
)
{\displaystyle \psi (A)=\exp \left(-\mathrm {i} S_{\text{CS}}(A)/4\lambda \right)}
이다. 여기서
S
CS
(
A
)
=
∫
Σ
tr
(
A
∧
d
A
+
2
3
A
∧
A
∧
A
)
{\displaystyle S_{\text{CS}}(A)=\int _{\Sigma }\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)}
는
Σ
{\displaystyle \Sigma }
천-사이먼스 이론 의 작용(천-사이먼스 형식 )이다. 이는
δ
S
CS
δ
A
ρ
a
=
vol
Σ
μ
ν
ρ
F
μ
ν
a
{\displaystyle {\frac {\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}}}=\operatorname {vol} _{\Sigma }^{\mu \nu \rho }F_{\mu \nu }^{a}}
이기 때문이다.
BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론 으로 생각할 수 있다.[4]
양-밀스 이론 의 작용은
S
YM
=
∫
M
1
g
2
K
(
F
∧
∗
F
)
{\displaystyle S_{\text{YM}}=\int _{M}{\frac {1}{g^{2}}}K(F\wedge *F)}
이다. 여기서
g
2
{\displaystyle g^{2}}
결합 상수 이고,
∗
{\displaystyle *}
호지 쌍대 이다. 여기에 보조장
B
{\displaystyle B}
S
YM
′
=
∫
M
(
K
(
B
∧
F
)
+
1
2
g
2
K
(
B
∧
∗
B
)
)
{\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}K(B\wedge *B))}
이제, 결합 상수를 0으로 보내자.
g
2
→
0
{\displaystyle g^{2}\to 0}
그렇다면
lim
g
2
→
0
S
YM
′
=
∫
M
K
(
B
∧
F
)
=
S
B
F
{\displaystyle \lim _{g^{2}\to 0}S_{\text{YM}}'=\int _{M}K(B\wedge F)=S_{BF}}
가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.
호지 쌍대
∗
{\displaystyle *}
부피 형식
ω
{\displaystyle \omega }
⟨
X
,
Y
⟩
ω
=
K
(
X
∧
∗
Y
)
{\displaystyle \langle X,Y\rangle \omega =K(X\wedge *Y)}
로 쓰자. 그렇다면
S
YM
′
=
∫
M
(
K
(
B
∧
F
)
+
1
2
g
2
ω
⟨
B
,
B
⟩
)
{\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}\omega \langle B,B\rangle )}
이 된다. 이는
ω
′
=
g
2
ω
{\displaystyle \omega '=g^{2}\omega }
에만 의존하게 된다. 이는 다양체
M
{\displaystyle M}
vol
(
M
)
=
∫
M
ω
′
=
∫
M
g
2
ω
{\displaystyle \operatorname {vol} (M)=\int _{M}\omega '=\int _{M}g^{2}\omega }
로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은
ω
′
{\displaystyle \omega '}
BF 모형에 초대칭 을 추가하여 초대칭 BF 모형 (영어 : supersymmetric BF model )을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론 이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론 이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은
G
{\displaystyle G}
딸림표현 을 따른다.
게이지 초장
(
A
,
ψ
)
{\displaystyle (A,\psi )}
A
{\displaystyle A}
ψ
{\displaystyle \psi }
Q
A
=
ψ
{\displaystyle QA=\psi }
라그랑주 승수 초장
(
χ
,
B
)
{\displaystyle (\chi ,B)}
B
{\displaystyle B}
(
d
−
2
)
{\displaystyle (d-2)}
χ
{\displaystyle \chi }
(
d
−
2
)
{\displaystyle (d-2)}
Q
χ
=
B
{\displaystyle Q\chi =B}
유령 초장
(
ϕ
¯
,
η
)
{\displaystyle ({\bar {\phi }},\eta )}
Q
ϕ
¯
=
η
{\displaystyle Q{\bar {\phi }}=\eta }
Q
η
=
[
ϕ
¯
,
ϕ
]
{\displaystyle Q\eta =[{\bar {\phi }},\phi ]}
이에 따라, 작용은 다음과 같다.[5] :§4.1
S
=
Q
∫
(
χ
F
+
ϕ
¯
d
∗
ψ
)
=
∫
(
B
F
+
(
−
1
)
d
χ
d
ψ
+
η
d
∗
ψ
+
ϕ
¯
[
ψ
,
∗
ψ
]
−
ϕ
¯
d
∗
d
ϕ
)
{\displaystyle S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,*\psi ]-{\bar {\phi }}d*d\phi \right)}
초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은
M
{\displaystyle M}
G
{\displaystyle G}
평탄 주접속 들의 모듈라이 공간 의 특성을 계산한다.
만약 시공간이 3차원일 경우 (
d
=
3
{\displaystyle d=3}
N
T
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{T}=2}
[5] :§4.1 [6] :238 초전하 (BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭 이 존재하며, 이 아래
(
χ
,
ψ
)
{\displaystyle (\chi ,\psi )}
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
도널드슨 이론 을 3차원으로 축소화 한 것과 같다.[5] :§4.3
↑ 가 나 Broda, Bogusław (2004). 〈BF system〉. 《Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics》 . Springer-Verlag. 54 쪽. arXiv :hep-th/0502045 . doi :10.1007/1-4020-4522-0_45 . ISBN 978-1-4020-1338-6 ↑ Kaul, R. K.; Govindarajan, T. R.; Ramadevi, P. (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv :hep-th/0504100 . Bibcode :2005hep.th....4100K . ↑ Baez, John C. (1996). “4-dimensional BF theory with cosmological term as a topological quantum field theory” . 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 38 : 129–143. arXiv :q-alg/9507006 . Bibcode :1995q.alg.....7006B . doi :10.1007/BF00398315 . ↑ Matthias Blau; George Thompson (1993). “Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques” (영어). arXiv :hep-th/9310144 . Bibcode :1993dgtt.rept.....B . ↑ 가 나 다 Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of NT ≥ 2 topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv :hep-th/9612143 . ↑ Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 209 (4–5): 129-340. Bibcode :1991PhR...209..129B . doi :10.1016/0370-1573(91)90117-5 . ISSN 0370-1573 .
![{\displaystyle A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8e02da8996bcadeabc40fbf9ab0d2a7d6aa58)
![{\displaystyle B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94670482385f592ae8d9eed055035708c7516414)
![{\displaystyle Q\eta =[{\bar {\phi }},\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bef6d311b47b608c946825a7d982f529385281)
![{\displaystyle S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,*\psi ]-{\bar {\phi }}d*d\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc9dbe9918fbbdd0e50dc65b57ade5151772a89)
