위상 양자장론

물리학과 수학에서 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체위에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다. 입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의

대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 코호몰로지형(영어: cohomological, 또는 위튼형 Witten-type)) 크게 두 종류가 있다.

시바르츠형 위상 양자장론

시바르츠형 위상 양자장론은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다. $d$차원 시공간에서, $d$차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고, 다음과 같은 꼴이다.

$S=\int _{M}A\wedge dA$.

여기서 $A$는 1차 미분형식이고, $M$은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

코호몰로지형 위상 양자장론

코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂(topological twist)을 가하여 만든다.

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다. 위튼은 4차원 $N=2$ 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

d차원 코호몰로지형 위상 양자장론은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$와, 다음과 같은 두 연산자 $Q,G_{\mu }$로 구성된다.^:63–66

$\{Q,Q\}=\{G_{\mu },G_{\nu }\}=0$

$\{Q,G_{\mu }\}=P_{\mu }$

여기서 $P_{\mu }$는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 $Q,G_{\mu }$는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 $|0\rangle$가 $Q$에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).

$Q|0\rangle =0$

그렇다면 $Q$를 BRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}_{\text{phys}}$을 $Q$에 대한 코호몰로지로 정의한다.

${\mathcal {H}}_{\text{phys}}=H_{Q}({\mathcal {H}})=\ker Q/\operatorname {im} Q$

또한, ${\mathcal {H}}$ 위의 연산자들에 대해서도 $[Q,\cdot \}$에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 $Q$에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 $Q$에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 $O^{(0)}$에 대하여, $G_{\mu }$를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.

$O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]$

$O^{(i)}$는 $i$차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.

$dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]$

따라서 $i>0$의 경우, $O^{(i)}$는 $Q$에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 $M$의 임의의 $i$차 호몰로지 $C_{i}\in H_{i}(M;\mathbb {Z} )$에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,

$\int _{C_{i}}O^{(i)}$

은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.

$\left\langle \cdots \int _{C_{i}}O^{(i)}\cdots \right\rangle$

예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

아티야 공리계

마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다. 이에 따라, $d+1$차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모든 $d$차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 $Y$에 대하여, 복소 벡터 공간인 상태 공간 $E(Y)$
• 모든 $d+1$차원 (경계를 가진) 유향 다양체 $(X,\partial X)$에 대하여, 경로 적분 $Z(X)\in E(\partial X)$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

1. (함자성)
   1. (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 $f\colon Y\to Y'$에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 $E(f)\colon E(Y)\to E(Y')$가 존재한다.
   2. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 $g\colon X\to X'$에 대하여, $E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')$이다.
2. (대합성) $-Y$를 $Y$에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, $E(-Y)=E(Y)^{*}$이다. 여기서 $V^{*}$는 $V$의 쌍대 공간이다.
3. (승법성)
   1. (상태 공간의 승법성) $E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')$
   2. (짜깁기 법칙 영어: sewing law) $\partial X_{1}=Y_{1}\sqcup Y_{3}$, $\partial X_{2}=Y_{2}\sqcup -Y_{3}$이라면, $X_{1}$과 $X_{2}$를 $Y_{3}$으로 이어붙여 $X=X_{1}\cup X_{2}$, $\partial X=Y_{1}\sqcup Y_{2}$를 만들 수 있다. 이 경우, $Z(X)=\langle Z(X_{1}),Z(X_{2})\rangle$이다. 여기서 $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon E(Y_{1})\otimes E(Y_{3})\otimes E(Y_{3})^{*}\otimes E(Y_{2})\to E(Y_{1})\otimes E(Y_{2})$는 $E(Y_{3})$의 내적이다.
4. (비자명성)
   1. (상태 공간의 비자명성) $E(\varnothing )=\mathbb {C}$이다.
   2. (경로 적분의 비자명성) $Z(\varnothing )=1$이다.
   3. (시간 변화) $Z(Y\times [0,1])=\operatorname {Id} _{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^{*}$이다. 여기서 $[0,1]$은 닫힌 구간이고, $\operatorname {Id} _{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)$는 $E(Y)$의 항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 $E(Y)$에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 $E(Y)\cong E^{*}(Y)$이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

다양한 차원에서의 위상 뒤틂

초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂

 이 부분의 본문은 위상 끈 이론입니다.

2차원 ${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초등각 장론의 R대칭은 U(1)²이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂(영어: A-twist) 및 B-뒤틂(영어: B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.

4차원 𝒩=2 위상 뒤틂

4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.

4차원 𝒩=4 위상 뒤틂

코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. ${\mathcal {N}}=4$ 양-밀스 이론의 대칭군은

$\operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}$

이다. 여기서 SU(2)_l×SU(2)_r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 $(Q,{\bar {Q}})$는 표현

$(1/2,0,\mathbf {4} )\oplus (0,1/2,\mathbf {4} )$

를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 $j=0,1/2,1,3/2,\dots$으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형

$\operatorname {SU} (2)_{{\text{l}}'}\times \operatorname {SU} (2)_{{\text{r}}'}\to \operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}$

에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 $(Q,{\bar {Q}})$의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.^{:Table 6}

이름	정의	성질	문헌
도널드슨-위튼(영어: Donaldson–Witten)	$\operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\supset \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)$, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음	자기 홀극. ${\mathcal {N}}=4$ 이론을, 딸림표현의 물질을 갖는 ${\mathcal {N}}=2$ 이론으로 간주.
바파-위튼(영어: Vafa–Witten)	$\operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {SO} (6)\supset \operatorname {SO} (3)^{2}$, 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음	순간자
마커스(영어: Marcus) 또는 카푸스틴-위튼(영어: Kapustin–Witten)	$\operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\supset \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)$, 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음	기하 랭글랜즈 프로그램과 관계 있음

바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂 및 B-뒤틂으로 불리기도 한다.^:§4.2

장들의 분해는 다음과 같다.

장	설명	뒤틀기 전 표현 SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R	도널드슨-위튼 뒤틂 SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U	바파-위튼 뒤틂 SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U	마커스 뒤틂 SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U
$Q_{\alpha }^{I}\;(I=1,\dots ,4)$	왼손 초전하	(½, 0, 4)	(½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1	(½, ½, ½)	(½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
${\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{\bar {I}}\;({\bar {I}}={\bar {1}},\dots ,{\bar {4}})$	오른손 초전하	(0, ½, 4)	(0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1	(0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½)	(½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
$A_{\mu }$	게이지 보손	(½, ½, 1)	(½, ½, 0)0	(½, ½, 0)	(½, ½, 0)0
$\psi _{\alpha }^{I}\quad (I=1,\dots ,4)$	왼손 게이지노	(½, 0, 4)	(½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1	(½, ½, ½)	(½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
${\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}^{\bar {I}}\quad ({\bar {I}}={\bar {1}},\dots ,{\bar {4}})$	오른손 게이지노	(0, ½, 4)	(0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1	(0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½)	(½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
$\phi ^{i}\quad (i=1,\dots ,6)$	스게이지노	(0, 0, 6)	(0, ½, ½)0 ⊕ (0, 0, 0)±2 (복소 스칼라장)	(0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0)	(½, ½)0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)±2 (복소 스칼라장)

도널드슨-위튼 뒤틂(영어: Donaldson–Witten twist)에서는 $\operatorname {SU} (4)_{\text{R}}$ 대칭을

$\operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\to \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)_{\text{F}}\times \operatorname {U} (1)_{\text{U}}$

으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 $\operatorname {SU} (2)_{\text{r}}$와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 $\operatorname {SU} (2)_{\text{F}}$는 맛깔 대칭, $\operatorname {U} (1)_{\text{U}}$는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, $\operatorname {SU} (4)$의 표현들은 다음과 같이 깨진다.^:§1

$\mathbf {4} \to (1/2,0)^{+1}\oplus (1/2,0)^{-1}$

$\mathbf {6} \to (1/2,1/2)^{0}\oplus (0,0)^{\pm 2}$

바파-위튼 뒤틂(영어: Vafa–Witten twist) 또는 A-뒤틂(영어: A-twist)에서는 $\operatorname {SU} (4)_{\text{R}}$ 대칭군을 우선

$\operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\to \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$

로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 $\operatorname {SU} (2)_{\text{r}}$와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 $\operatorname {SU} (2)_{\text{U}}$로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 $\operatorname {SU} (2)^{2}$ 표현으로 깨진다.

$\mathbf {4} \to (1/2,1/2)$

$\mathbf {6} \to (1,0)\oplus (0,1)$

유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.

마커스 뒤틂(영어: Marcus twist) 또는 B-뒤틂(영어: B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)_F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)_l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1)_U 유령수 대칭만이 남게 된다.

3차원 𝒩=4 위상 뒤틂

3차원에서는 ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 $\operatorname {SO} ({\mathcal {N}})$이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 ${\mathcal {N}}\geq 4$이어야 한다.

3차원 ${\mathcal {N}}=4$에서, R대칭은 $\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}$이다. 3차원 ${\mathcal {N}}=4$에서, 벡터 초장의 $\operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}$ 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)

초장	장	대칭군 $\operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}$ 표현
	초전하 $Q_{\alpha }^{a}\quad (a=1,2,3,4)$	(½, ½, ½)
벡터 초장	게이지 보손 $A_{\mu }$	(1, 0, 0)
	게이지노 $\chi _{\alpha }^{i}\quad (i=1,2)$	(½, ½, ½)
	스게이지노 $\eta _{\alpha }^{I}\quad (I=1,2,3)$	(0, 1, 0)
하이퍼 초장	페르미온 $\psi _{\alpha }^{i}\quad (i=1,2)$	(½, ½, ½)
	스칼라 $\phi$	(0, 0, 0) + (0, 0, 1)

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 $\operatorname {SU} (2)_{E'}$을 $\operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{R}$의 대각선 부분군으로 잡거나, $\operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}$의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(영어: A-twist), 후자는 B-뒤틂(영어: B-twist)이라고 한다.

초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(영어: Kapustin–Vyas model),, B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형(영어: Rozansky–Witten model)이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형(영어: Blau–Thompson model)이라고 한다.^:§4.3

3차원 𝒩=8 위상 뒤틂

3차원 ${\mathcal {N}}=8$ 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.^:§5.1

• 하나는 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

각주

• Schwarz, Albert (2000). “Topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0011260. Bibcode:2000hep.th...11260S. 
• Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008년 12월 11일). “Undergraduate lecture notes in topological quantum field theory” (영어). arXiv:0810.0344. Bibcode:2008arXiv0810.0344I. 
• Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 209 (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573. 
• Labastida, José M. F.; Carlos Lozano. “Lectures in topological quantum field theory” (영어). arXiv:hep-th/9709192. Bibcode:1997hep.th....9192L. 
• Labastida, José M. F. (2002). “Knot theory from the perspective of field and string theory” (영어). arXiv:hep-th/0201038. Bibcode:2002hep.th....1038L. 
• Labastida, José M. F. (2000). “Knot theory from a Chern-Simons gauge theory point of view” (영어). arXiv:hep-th/0002221. Bibcode:2000hep.th....2221L. 
• Bartlett, Bruce H. (2005). 《Categorical aspects of topological quantum field theories》 (영어). 석사 학위 논문. 위트레흐트 대학교. arXiv:math/0512103. Bibcode:2005math.....12103B. 
• Picken, R. F.; P. A. Semiao (1999). “TQFT — a new direction in algebraic topology” (영어). arXiv:math/9912085. Bibcode:1999math.....12085P. 

외부 링크

• “Topological quantum field theory”. 《nLab》 (영어). 
• “2d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “3d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “4d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “TCFT”. 《nLab》 (영어). 
• “Topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Kapustin-Witten TQFT”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 천-사이먼스 이론
• 위상 끈 이론
• BF 모형