평탄 주접속

미분기하학에서 평탄 주접속(平坦主接續, 영어: flat principal connection)은 곡률이 0인 주접속이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 주접속

$A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$

에 대하여, 곡률

$F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})$

을 정의할 수 있다. 만약 $F=0$이라면, $A$를 $P$의 평탄 주접속이라고 한다.

제르브의 경우

보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$과 L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 ${\mathfrak {g}}$ 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형

$\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)$

이다 (정의역은 ${\mathfrak {g}}$의 베유 대수, 공역은 $M$의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의 ${\mathfrak {g}}$-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

${\begin{matrix}\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})&\to &\Omega (M)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})&\to &\operatorname {\Omega _{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\end{matrix}}$

여기서

• $\triangle ^{1}$은 1차원 단체에 해당한다. 즉, $\operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})$은 $\Omega (M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]$이며, $\mathbb {R} [s,\mathrm {d} s]=\operatorname {\Omega } (\triangle ^{1})$은 하나의 0차 생성원 $s$로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
• $\operatorname {\Omega _{vert}} (M\times \triangle ^{1})$는 $\operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})$ 속의, $\mathrm {d} t$로 생성되는 아이디얼이다.
• 사상 $\operatorname {\Omega _{\perp }} (M\times \triangle ^{1})\to \operatorname {\Omega } (M)$은 포함 사상이다.
• $\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})$와 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$와 $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$는 각각 L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 ${\mathfrak {g}}$-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

$\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {\Omega } (M\times \triangle ^{1})$

가 존재한다.

성질

평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조

만약 밑공간 $M$ 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

복소구조

만약 $M$에 복소구조

$J_{M}\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M$

가 존재한다고 하면, ${\mathcal {M}}(\Sigma )$ 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 $\delta A\in T_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )$를 $\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})$의 원소로 나타내면,

$J\colon \mathrm {T} _{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )\to \mathrm {T} _{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )$

$[J(\delta A)]^{j}=(J_{M})_{i}{}^{j}(\delta A)_{i}$

여기서, 우변의 $J_{i}{}^{j}$는 $M$의 복소구조다.

심플렉틱 구조

$G$의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 $K(-,-)$을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 $K(AB)=\operatorname {tr} (AB)$의 스칼라배다.)

만약 $M$에 심플렉틱 구조

$\omega \in \Omega ^{2}(M)$

가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간 ${\mathcal {M}}(M;G)$ 역시 심플렉틱 구조를 가진다.${\mathcal {M}}(\Sigma )$는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.^:85–87 구체적으로, 임의의 ${\mathcal {M}}$의 접공간의 원소 $\delta _{1}A,\delta _{2}A\in T_{A}{\mathcal {M}}(\Sigma )$가 주어졌다고 하자. 이들을 ${\mathfrak {g}}$

$\omega (\delta A_{1},\delta A_{2})=\int _{\Sigma }\omega ^{ij}K_{ab}\delta _{1}A_{i}^{a}\wedge \delta _{2}A_{j}^{a}$

로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 $M$이 켈러 다양체이라면, ${\mathcal {M}}(M,G)$는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, $M$이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

반단순 리 군의 경우

$G$가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면 $\Sigma$ 위의 평탄 $G$-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

${\mathcal {M}}(\Sigma )\cong \hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)/G$

이다. 여기서 $\pi _{1}(\Sigma )$는 $\Sigma$의 기본군이고, $\hom(\cdot ,\cdot )$은 군 준동형들의 공간이며, $/G$는 동치관계 $\phi \sim g\phi g^{-1}$에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, $G$가 아벨 군이면

${\mathcal {M}}(\Sigma )\cong \hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)\cong G^{2g}$

이다. 여기서 $g$는 $\Sigma$의 곡면 종수이다. 반면, $G$가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, ${\mathcal {M}}$은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 $\Sigma$의 기본군은 다음과 같이 표시된다.

$\pi _{1}(\Sigma )=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{g},b_{g}|a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}\rangle$

따라서, $\hom(\pi _{1}(\Sigma ),G)$의 한 원소는 $\pi _{1}(\Sigma )$의 생성원 $\{a_{i},b_{i}\}_{i=1,\dots ,g}$의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 $2g(\dim G)$개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 $\phi (a_{1})\phi (b_{1})\phi (a_{1})^{-1}\phi (b_{1})^{-1}\cdots =1$은 $\dim G$개의 제약을 가하고, 또한 $G$의 켤레 작용 $\phi \sim g\phi g^{-1}$ 또한 차원을 $\dim G$만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

$\dim {\mathcal {M}}=-\chi (\Sigma )\cdot \dim G=(2g-2)\cdot \dim G$

이다.^:368 여기서 $\chi (\Sigma )=2-2g$는 $\Sigma$의 오일러 지표다.

분류

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, $M$이 연결 공간일 경우, 임의의 점 $x\in M$에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

$\operatorname {\pi } _{1}(M,x)\to G$

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

${\mathcal {M}}={\frac {\hom(\pi _{1}(M,x),G)}{G}}$

이다. 여기서 $G$의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.

$g\cdot \phi =([\gamma ]\mapsto [t\mapsto g\gamma (t)^{-1}])$

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 $G$가 아벨 군일 경우 이는 단순히 ${\mathcal {M}}=\hom(\pi _{1}(M,x))$이며, 만약 $M=\mathbb {T} ^{n}$이 원환면일 경우 이는 ${\mathcal {M}}=G^{n}$이다.

예

단일 연결 공간

연결 단일 연결 매끄러운 다양체 $M$을 생각하자. 그 위의 $G$-주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구 $\Sigma =S^{2}$의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간

${\mathcal {M}}(S^{2};G)=\{\bullet \}$

이다.

원환면

원환면 $\Sigma =\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$의 경우, 반단순 리 군 $G$에 대하여

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname {Weyl} (G)$

이다. 여기서 $C(G)\cong U(1)^{\operatorname {rank} (G)}$는 $G$의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, $\operatorname {Weyl} (G)$는 $C(G)$에 작용하는 바일 군이다.

원환면 위의 U(N') 및 GL(N;ℂ) 주접속

$\mathbb {T} ^{n}$ 위의 $\operatorname {U} (N)$ 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, $n$개의 가환 홀로노미들은 $n$개의 서로 가환하는 $N\times N$ 유니터리 행렬

$M_{1},\dotsc ,M_{n}$

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

$M_{i}=\operatorname {diag} (\lambda _{i,1},\dotsc ,\lambda _{i,N})$

$\lambda _{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$

로 놓을 수 있다. 이제

${\vec {\lambda }}_{j}=(\lambda _{1,j},\dotsc ,\lambda _{n,j})$

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 $\operatorname {Weyl} (\operatorname {U} (N))=\operatorname {Sym} (N)$의 작용)은 ${\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N}$ 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}(\mathbb {T} ^{n})$

$G=\operatorname {U} (N)$ 대신 $G=\operatorname {GL} (N;\mathbb {C} )$의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 $\lambda _{i,j}\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$ 대신

$\lambda _{i,j}\in \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {U} (N))=\operatorname {Conf} ^{N}\left((\mathbb {C} ^{\times })^{\times n}\right)$

원환면 위의 U(N') 및 SL(N;ℂ) 주접속

$\operatorname {U} (N)$의 경우와 마찬가지로, $G=\operatorname {SU} (N)$의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 ($\mathbb {T} ^{n}$의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, $\mathbb {T} ^{n}$ 위의 $N$개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SU} (N))={\frac {\{({\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N})\in (\mathbb {T} ^{n})^{\times N}\colon \sum _{i=1}^{N}{\vec {\lambda }}_{i}=0\}}{\operatorname {Sym} (N)}}$

특히, $M=\mathbb {T} ^{2}$일 때, $\mathbb {T} ^{2}$ 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 $N$개의 점들은 $\mathbb {T} ^{2}$ 위의, 차수 $N$의 인자를 정의하며, 이들은 $M$ 위의, 차수 $N$의 복소수 선다발 $L\twoheadrightarrow M$의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {\mathbb {P} } (\operatorname {H} ^{0}(L))$

이다. 리만-로흐 정리에 의하여, $L$의 차수가 $N$이므로, 그 차원은

$\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{0}(L)=N-g(\mathbb {T} ^{2})+1=N$

이다. 즉,

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{2};\operatorname {SU} (N))=\operatorname {Proj} (\operatorname {H} ^{0}(L))=\operatorname {\mathbb {C} P} ^{N-1}$

이다.

$\operatorname {SL} (N;\mathbb {C} )$의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 $\operatorname {U} (1)$ 대신 곱셈 아벨 군 $\mathbb {C} ^{\times }$가 들어가게 된다.

${\mathcal {M}}(\mathbb {T} ^{n};\operatorname {SL} (N;\mathbb {C} ))={\frac {\{({\vec {\lambda }}_{1},\dotsc ,{\vec {\lambda }}_{N})\in ((\mathbb {C} ^{\times })^{n})^{\times N}\colon \prod _{j=1}^{N}\lambda _{i,j}=0\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,n\}\}}{\operatorname {Sym} (N)}}$

응용

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

외부 링크

• “Moduli space of flat connections”. 《nLab》 (영어). 
• “Quantization of 3d Chern-Simons theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Narasimhan–Seshadri theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Infinity-Chern-Weil theory introduction”. 《nLab》 (영어). 
• “Moduli space of flat connections SU(N) on an elliptic curve is ℂP^N−1” (영어). Math Overflow.