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평탄 주접속

곡률이 0인 주접속

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면,  주접속

 

에 대하여, 곡률

 

을 정의할 수 있다. 만약  이라면,   평탄 주접속이라고 한다.

제르브의 경우편집

보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, 매끄러운 다양체  L∞-대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의   값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수준동형

 

이다 (정의역 베유 대수, 공역 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의  -접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

 

여기서

  •  은 1차원 단체에 해당한다. 즉,   이며,  은 하나의 0차 생성원  로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
  •    속의,  로 생성되는 아이디얼이다.
  • 사상  은 포함 사상이다.
  •    는 각각 L∞-대수  불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며,  베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄  -주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

 

가 존재한다.

성질편집

평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조편집

만약 밑공간   위에 복소구조심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

복소구조편집

만약  복소구조

 

가 존재한다고 하면,   위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의   의 원소로 나타내면,

 
 

여기서, 우변의   복소구조다.

심플렉틱 구조편집

 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식  을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식  의 스칼라배다.)

만약  심플렉틱 구조

 

가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간   역시 심플렉틱 구조를 가진다. 는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.[2][3]:85–87 구체적으로, 임의의  접공간의 원소  가 주어졌다고 하자. 이들을  

 

로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약  켈러 다양체이라면,  심플렉틱 구조복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히,  리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

반단순 리 군의 경우편집

 가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면   위의 평탄  -주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

 

이다. 여기서   기본군이고,  군 준동형들의 공간이며,  동치관계  에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어,  아벨 군이면

 

이다. 여기서   곡면 종수이다. 반면,  콤팩트 반단순 리 군인 경우,  은 복잡한 위상을 가진다.

곡면  기본군은 다음과 같이 표시된다.

 

따라서,  의 한 원소는  의 생성원  의 각 원소의 을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는  개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에   개의 제약을 가하고, 또한  의 켤레 작용   또한 차원을  만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

 

이다.[4]:368 여기서   오일러 지표다.

분류편집

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로,  연결 공간일 경우, 임의의 점  에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

 

게이지 변환에 따라서,   위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간몫공간

 

이다. 여기서  작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.

 

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약  아벨 군일 경우 이는 단순히  이며, 만약  원환면일 경우 이는  이다.

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단일 연결 공간편집

연결 단일 연결 매끄러운 다양체  을 생각하자. 그 위의  -주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간한원소 공간이다.

특히,  의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간

 

이다.

원환면편집

원환면  의 경우, 반단순 리 군  에 대하여

 

이다. 여기서   카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며,   에 작용하는 바일 군이다.

원환면 위의 U(N') 및 GL(N;ℂ) 주접속편집

  위의   주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우,  개의 가환 홀로노미들은  개의 서로 가환하는   유니터리 행렬

 

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

 
 

로 놓을 수 있다. 이제

 

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군  의 작용)은   위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

 

  대신  의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우   대신

 

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

 

원환면 위의 U(N') 및 SL(N;ℂ) 주접속편집

 의 경우와 마찬가지로,  의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 ( 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인,   위의  개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

 

특히,  일 때,   위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이  개의 점들은   위의, 차수  인자를 정의하며, 이들은   위의, 차수  의 복소수 선다발  의 단면의 사영 동치류일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

 

이다. 리만-로흐 정리에 의하여,  의 차수가  이므로, 그 차원은

 

이다. 즉,

 

이다.

 의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군   대신 곱셈 아벨 군  가 들어가게 된다.

 

응용편집

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간천-사이먼스 이론위상 공간으로서 등장한다.

참고 문헌편집

  1. Michiels, Daan (2013). 《Moduli spaces of flat connections》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. Katholieke Universiteit Leuven. 
  2. Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). “The Yang–Mills equations over Riemann surfaces”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society A》 (영어) 308 (1505): 523–615. Zbl 0509.14014. doi:10.1098/rsta.1983.0017. 
  3. Cannas da Silva, Ana (2006). 〈Symplectic geometry〉. Dillen, Franki J.E.; Verstraelen, Leopold C.A. 《Handbook of Differential Geometry. Volume 2》 (영어). Elsevier. 79–188쪽. Bibcode:2005math......5366C. arXiv:math/0505366. doi:10.1016/S1874-5741(06)80006-3. 
  4. Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005. doi:10.1007/BF01217730. 

외부 링크편집