시공간

시간과 장소를 하나의 구조로 묶은 4차원 수학적 모델
(시공에서 넘어옴)

물리학에서 시공간(時空間, spacetime) 혹은 시공(時空)이란 3차원 공간과 제4차원으로서의 시간을 하나의 구조로 묶은 4차원 수학적 모델로, 상대성 이론양자장론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 현대에 나온 초끈이론, 고리 양자 중력은 현재 표준적으로 고려되는 시공간 모델과 다른 모델을 제안한다. 예를 들어 초끈이론에서는 우주의 시공간이 11차원이며, 그 중 6차원은 칼라비 야우 다양체로 묘사되며 플랑크 스케일 정도로 아주 작다고 주장한다. 나머지 1차원은 초대칭 때문에 추가된 차원이다.

Spacetime curvature.png

도입편집

1907년 독일 수학자 헤르만 민코프스키가 최초로 사건들이 일어나는 장소와 시간을 더 이상 따로 구분하지 않는 시공간으로 통합시키고 그에 걸맞는 기하학적 공간인 민코프스키 공간을 정의하였다. 민코프스키는 1908년에〈공간과 시간〉(독일어: Raum und Zeit)이라는 제목으로 연설하였는데, 이 연설은 지금도 유명하다.

Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund’ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.[1]

제가 여러분 앞에 제시하려는 공간과 시간에 대한 관점은 실험 물리학에서 유래합니다. 이 관점의 강점은 여기에 있습니다. 이 관점의 성격은 과격합니다. 앞으로 공간 자체 및 시간 자체는 마치 그림자처럼 사라질 것이고, 오직 그 둘의 합체만이 독립적인 실체로 남을 것입니다.

처음에 알베르트 아인슈타인은 논문을 통해 민코프스키 공간을 물리학에 도입하는것에 대해 공식적으로 회의적 시각을 드러내었고, 불필요한 박식함이라고 무시하기도 했다.[2] 그러나 일반 상대성 이론을 연구하면서 민코프스키의 기하학적 접근이 필수적임을 깨닫게 되었다고 한다.[3]

현대에는 시공간을 기술 할 때 민코프스키 공간이 필수적이다. 일반적으로 시공간은 준 리만 다양체의 특별한 경우인 로런츠 다양체로 기술되며, 이는 평평한 경우에 해당하는 민코프스키 공간을 휘어진 경우까지 일반화한 것이다.


공간의 3차원 벡터  를 확장하여 4차원 벡터

 

로 나타낼 수 있다. 여기서 c는 빛의 속도이고 따라서 ct의 단위는 거리의 단위가 된다.

시공간은 로렌츠 대칭성이 있으며, 이것이 시공간의 대칭성을 극명하게 보여준다. 요컨데, 등방(isotropic)한 공간은 회전에 대한 대칭성이 있고, 벡터의 길이  를 일정하게 보존한다. 로렌츠 대칭성은 시공간 벡터의 길이

 

를 일정하게 보존한다. 공간은 데카르트직교 좌표계로 잘 표현되듯, 시공간은 민코프스키민코프스키 좌표계로 표시할 수 있다.

일반 상대성 이론에서 시공간편집

여기선 일반 상대성 이론에서 시공간의 수학적 모델을 비교적 상세히 서술하고자 한다.

먼저, 여기서 쓰는 수학에 대해 간단히 언급하자. 1700년대에서 1800년대 사이에 카를 프리드리히 가우스베른하르트 리만 등에 의해 리만 기하학이 연구되었다. 리만 기하학에서 다루는 대상은 리만 다양체로, 미적분이 정의되는 다양체인 매끄러운 다양체위에 추가적으로 내적이 주어져있어서 거리, 각도, 넓이, 부피 등이 정의되는 기하학적 대상이다. 리만 다양체에서 내적의 성질 중 하나인 양의 정부호성이란 조건을 없앤 다양체를 준 리만 다양체라고 한다. 준 리만 다양체에서 기하학은 리만 기하학과 거의 같다. 준 리만 다양체 가운데 특정한 부호수 (+++-) 또는 (---+)를 갖는 경우를 로런츠 다양체라고 한다.

시공간의 수학적 형식화는, 연결이고 향(向)을 줄 수 있고 시간 방향을 줄 수 있고 레비 치비타 접속이 주어진 4차원 로런츠 다양체이다.

여기서 시간 방향을 줄 수 있다는 조건을 설명한다. 민코프스키 시공간에서 시간꼴(timelike), 빛꼴(lightlike), 장소꼴(spacelike)이란 개념을 떠올려보라. 이는 속도에 대한 조건이다. 로런츠 다양체에서 접공간은 어떤 내적이 주어진 민코프스키 공간이다. 속도벡터는 접공간의 원소로 표현되므로, 로런츠 다양체접다발에서 시간의 방향을 고려한다. 대략적으로, 로런츠 다양체접다발에서 시간꼴 벡터만 모았을 때 연결성분(connected component)이 둘이면 그 로런츠 다양체에 시간 방향을 줄 수 있다고 하고, 시간 방향이란, 앞의 두 연결성분 중 하나는 과거로 두고 나머지 하나는 미래로 두는것이다.

향을 줄 수 있는 조건이 들어갔다는것은 예를 들어, 뫼비우스 띠클라인 병처럼 향을 못주는 경우를 고려치 않는다는 뜻이다. 수리 물리학적으로, 향을 줄 수 없는 시공간은 엘리스 우주라고 부르며, 이 때는 전역적인 물질과 반물질의 구별이 무의미하다.

각주편집

  1. wikisource:de:Raum und Zeit (Minkowski)
  2. Space and Time (2011), translated by Fritz Lewertoff and Vesselin Petkov, in: Space and Time: Minkowski's papers on relativity (Minkowski Institute Press, Montreal 2012), pp. 39-55 Link: http://minkowskiinstitute.org/mip/MinkowskiFreemiumMIP2012.pdf
  3. The Collected Papers of Albert Einstein, Volume 6: The Berlin Years: Writings, 1914-1917 (Princeton University Press, Princeton 1997), p. 146.

같이 보기편집