다음이 주어졌다고 하자.
콤팩트 복소다양체
M
{\displaystyle M}
고차원 복소수 사영 공간 으로의 단사 정칙 함수
M
↪
C
P
N
{\displaystyle M\hookrightarrow \operatorname {\mathbb {C} P} ^{N}}
. 이에 따라,
M
{\displaystyle M}
위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류
[
ω
]
∈
H
2
(
M
;
R
)
{\displaystyle [\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )}
는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리 에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
M
{\displaystyle M}
위의 정칙 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
다발의 기울기
편집
E
≠
0
{\displaystyle E\neq 0}
이라고 할 때,
E
{\displaystyle E}
의 기울기 (영어 : slope 슬로프[* ] )는 다음과 같은 유리수 이다.
μ
(
E
)
=
∫
M
[
ω
]
dim
C
M
−
1
⌣
c
1
(
E
)
dim
M
E
∈
Q
{\displaystyle \mu (E)={\frac {\int _{M}[\omega ]^{\dim _{\mathbb {C} }M-1}\smile \operatorname {c} _{1}(E)}{\dim _{M}E}}\in \mathbb {Q} }
이 식에서, 분자가 정수인 것은
M
{\displaystyle M}
이 사영 대수다양체 이기 때문이다.
에르미트-아인슈타인 접속
편집
콤팩트 리 군
U
(
1
)
diag
≤
G
≤
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {U} (1)_{\operatorname {diag} }\leq G\leq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
이 주어졌으며,
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
가
M
{\displaystyle M}
위의,
G
{\displaystyle G}
구조의 정칙 벡터 다발 이라고 하고, 이에 대응되는
G
{\displaystyle G}
-주다발 이
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
이라고 하자.
그렇다면,
E
{\displaystyle E}
위의 어떤 벡터 다발 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
의 곡률
F
i
ȷ
¯
a
∈
Ω
1
,
1
(
M
;
a
d
(
P
)
)
{\displaystyle F_{i{\bar {\jmath }}}^{a}\in \Omega ^{1,1}(M;{\mathfrak {ad}}(P))}
을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식 이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발 은 딸림표현 연관 벡터 다발
a
d
(
P
)
=
P
×
G
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)}
이다. 표현에 따라서
a
d
(
P
)
⊆
End
E
{\displaystyle {\mathfrak {ad}}(P)\subseteq \operatorname {End} E}
이다.
End
E
{\displaystyle \operatorname {End} E}
에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발
C
id
E
⊆
End
E
{\displaystyle \mathbb {C} \operatorname {id} _{E}\subseteq \operatorname {End} E}
을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면 을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을
m
:
M
×
C
↪
End
(
E
)
{\displaystyle m\colon M\times \mathbb {C} \hookrightarrow \operatorname {End} (E)}
이라고 하자. 이제, 만약
F
∈
i
R
m
(
ω
)
⊆
Ω
1
,
1
(
M
;
End
E
)
{\displaystyle F\in \mathrm {i} \mathbb {R} m(\omega )\subseteq \Omega ^{1,1}(M;\operatorname {End} E)}
라면,
∇
{\displaystyle \nabla }
를 에르미트-아인슈타인 접속 이라고 한다.
i
λ
{\displaystyle \mathrm {i} \lambda }
는 허수 이므로, 이 경우
E
{\displaystyle E}
위에 임의의 에르미트 계량 을 부여한다면,
∇
{\displaystyle \nabla }
는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미 가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬 이다).
안정 벡터 다발
편집
E
≠
0
{\displaystyle E\neq 0}
일 때, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 안정 벡터 다발 이라고 한다.[1]
E
{\displaystyle E}
의 임의의 부분 정칙 벡터 다발
0
⊊
F
⊊
E
{\displaystyle 0\subsetneq F\subsetneq E}
에 대하여,
μ
(
F
)
<
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (F)<\mu (E)}
이다.
E
{\displaystyle E}
는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (
G
=
GL
(
C
rk
E
)
{\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})}
에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
E
{\displaystyle E}
는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (
G
=
GL
(
C
rk
E
)
{\displaystyle G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})}
에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.
안정 벡터 다발의 첫 정의에서,
μ
(
F
)
<
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (F)<\mu (E)}
를
μ
(
F
)
≤
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (F)\leq \mu (E)}
로 약화시키면, 준안정 벡터 다발 (영어 : semistable vector bundle )의 개념을 얻는다.
리만 곡면의 경우
편집
다음이 주어졌다고 하자.
콤팩트 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
정칙 벡터 다발
E
↠
Σ
{\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }
이 경우,
H
2
(
Σ
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\Sigma )}
가 1차원이므로,
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상
Σ
{\displaystyle \Sigma }
의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.
이 경우,
E
{\displaystyle E}
의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.
다음이 주어졌다고 하자.
복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체
Σ
{\displaystyle \Sigma }
정칙 벡터 다발
E
↠
Σ
{\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }
E
{\displaystyle E}
위의 에르미트 구조
η
∈
Γ
Σ
(
E
∗
⊗
E
¯
∗
)
{\displaystyle \eta \in \Gamma _{\Sigma }(E^{*}\otimes {\bar {E}}^{*})}
만약
E
{\displaystyle E}
위에 벡터 다발 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선
γ
:
[
0
,
1
]
→
Σ
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma }
γ
(
0
)
=
γ
(
1
)
∈
Σ
{\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)\in \Sigma }
에 대하여, 모노드로미
T
γ
∈
GL
(
E
γ
(
0
)
;
C
)
{\displaystyle T_{\gamma }\in \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )}
를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군
U
(
E
γ
(
0
)
)
≤
GL
(
E
γ
(
0
)
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {U} (E_{\gamma (0)})\leq \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )}
에 속한다면, 이러한 접속을 유니터리 접속 (영어 : unitary connection )이라고 하자. 유니터리 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
이 주어졌을 때, 그 곡률
F
∇
∈
Ω
2
(
Σ
;
u
(
E
)
)
{\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\Sigma ;\operatorname {u} (E))}
를 생각하자. (
u
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {u} (E)}
는
E
{\displaystyle E}
위의 유니터리 리 대수 들의 벡터 다발 이다.) 이제, 부피 형식 을 통한 호지 쌍대
∗
F
∇
∈
Γ
(
u
(
E
)
)
{\displaystyle *F_{\nabla }\in \Gamma (\operatorname {u} (E))}
를 생각하자.
나라심한-세샤드리 정리 (நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, 영어 : Narasimhan–Seshadri theorem )에 따르면,[2]
E
{\displaystyle E}
가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때,
(
E
,
η
)
{\displaystyle (E,\eta )}
가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건 은
∗
F
∇
=
−
2
π
i
μ
(
E
)
{\displaystyle *F_{\nabla }=-2\pi \mathrm {i} \mu (E)}
인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점
z
∈
Σ
{\displaystyle z\in \Sigma }
에 대하여 군 준동형
π
1
(
Σ
,
z
)
→
PU
(
E
z
)
=
U
(
E
z
)
C
×
{\displaystyle \pi _{1}(\Sigma ,z)\to \operatorname {PU} (E_{z})={\frac {\operatorname {U} (E_{z})}{\mathbb {C} ^{\times }}}}
이 존재한다.
리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간
편집
다음이 주어졌다고 하자.
종수
g
{\displaystyle g}
의 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
자연수
r
∈
N
{\displaystyle r\in \mathbb {N} }
(정칙 벡터 다발 의 차원)
정수
d
∈
Z
{\displaystyle d\in \mathbb {Z} }
(정칙 벡터 다발 의 차수)
그렇다면,
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의
r
{\displaystyle r}
차원
d
{\displaystyle d}
차 안정 정칙 벡터 다발 들의 모듈라이 공간
M
(
Σ
,
r
,
d
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)}
을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간 인 복소수 사영 대수다양체 이다.
E
↠
Σ
{\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }
에서, 그 접공간 은 다음과 같다.
T
E
M
=
H
1
(
Σ
,
End
(
E
)
)
{\displaystyle \mathrm {T} _{E}{\mathcal {M}}=\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}
그 복소수 차원은 다음과 같다.
M
(
Σ
,
r
,
d
)
≠
∅
⟹
dim
C
M
(
Σ
,
r
,
d
)
=
r
2
(
g
−
1
)
+
1
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing \implies \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)=r^{2}(g-1)+1}
여기서
M
(
Σ
,
r
,
d
)
≠
∅
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing }
일 필요 충분 조건 은
g
≥
2
{\displaystyle g\geq 2}
이거나,
g
=
1
{\displaystyle g=1}
이며
gcd
{
r
,
d
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{r,d\}=1}
이거나,
g
=
0
{\displaystyle g=0}
이며
r
=
1
{\displaystyle r=1}
인 것이다.
여기서 정칙 벡터 다발
E
↠
Σ
{\displaystyle E\twoheadrightarrow \Sigma }
의 차수는
deg
E
=
∫
Σ
c
1
(
E
)
∈
Z
{\displaystyle \deg E=\textstyle \int _{\Sigma }\operatorname {c} _{1}(E)\in \mathbb {Z} }
이며,
c
1
{\displaystyle \operatorname {c} _{1}}
은 1차 천 특성류 이다.
증명:
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
의 차원은 물론 어떤 임의의
E
∈
M
{\displaystyle E\in {\mathcal {M}}}
에서의 접공간 의 차원과 같다.
리만-로흐 정리 에 따라서,
dim
H
0
(
Σ
,
End
E
)
−
dim
H
1
(
Σ
,
End
E
)
=
deg
(
End
E
)
+
(
1
−
g
)
dim
(
End
E
)
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=\deg(\operatorname {End} E)+(1-g)\dim(\operatorname {End} E)}
이다. 그런데
det
(
E
∗
⊗
E
)
{\displaystyle \det(E^{*}\otimes E)}
는 대역적 단면을 가지므로
deg
(
End
E
)
=
0
{\displaystyle \deg(\operatorname {End} E)=0}
이며,
E
{\displaystyle E}
가 안정 벡터 다발이므로
dim
H
0
(
Σ
,
End
E
)
=
1
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=1}
이다. (이는 올별 항등 함수 의 스칼라배로 구성된다.)
물론
dim
(
End
E
)
=
r
2
{\displaystyle \dim(\operatorname {End} E)=r^{2}}
이다. 따라서
dim
H
1
(
Σ
,
End
E
)
=
r
2
(
g
−
1
)
+
1
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=r^{2}(g-1)+1}
이다.
만약
g
=
0
{\displaystyle g=0}
일 경우 (
Σ
≅
C
P
1
{\displaystyle \Sigma \cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}
), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발 은 다음과 같은 꼴이다.
⨁
i
O
(
d
i
)
{\displaystyle \bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})}
여기서
O
(
d
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}
는 보편 선다발 의
−
d
{\displaystyle -d}
차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발
O
(
d
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}
밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든
i
{\displaystyle i}
에 대하여
d
1
=
d
2
=
⋯
{\displaystyle d_{1}=d_{2}=\dotsb }
인 것이다 (즉,
dim
E
∣
deg
E
{\displaystyle \dim E\mid \deg E}
). 즉,
M
(
C
P
1
,
r
,
d
)
=
{
{
∙
}
r
∣
d
∅
r
∤
d
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},r,d)={\begin{cases}\{\bullet \}&r\mid d\\\varnothing &r\nmid d\end{cases}}}
이다.
만약
g
=
1
{\displaystyle g=1}
일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건 은 그 차수와 그 차원이 서로소 인 것이다.
gcd
{
deg
E
,
dim
E
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{\deg E,\dim E\}=1}
이 경우,
M
(
Σ
,
r
,
d
)
≅
Σ
(
gcd
{
r
,
d
}
=
1
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\cong \Sigma \qquad (\gcd\{r,d\}=1)}
이다.[3]
하더-나라삼한 여과
편집
리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 임의의 정칙 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과
0
=
E
0
⊆
E
1
⊆
⋯
⊆
E
k
=
E
{\displaystyle 0=E_{0}\subseteq E_{1}\subseteq \dotsb \subseteq E_{k}=E}
가 존재한다.
임의의
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
k
−
1
}
{\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}}
에 대하여,
E
i
+
1
/
E
i
{\displaystyle E_{i+1}/E_{i}}
는
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 준안정 벡터 다발이다.
이를 하더-나라심한 여과 (영어 : Harder–Narasimhan filtration )라고 한다.[4]
데이비드 멈퍼드 가 1963년에 도입하였다.
나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(타밀어 : முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன் , 영어 : Mudumbai Seshacharlu Narasimhan )과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(타밀어 : காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி , 영어 : Conjeevaram Srirangachari Seshadri )가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며,[5] 이후 1983년에 사이먼 도널드슨 이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며,[2] 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체 에 대하여 일반화하였다.[1]
모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발 )은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.
양의 차원의 두 정칙 선다발
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
의 직합
E
⊕
F
{\displaystyle E\oplus F}
은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.[2] :269 이 경우,
c
1
(
E
⊕
F
)
=
c
1
(
E
)
+
c
1
(
F
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{1}(E\oplus F)=\operatorname {c} _{1}(E)+\operatorname {c} _{1}(F)}
dim
(
E
⊕
F
)
=
dim
E
+
dim
F
{\displaystyle \dim(E\oplus F)=\dim E+\dim F}
이므로,
min
{
μ
(
E
)
,
μ
(
F
)
}
≤
μ
(
E
⊕
F
)
≤
max
{
μ
(
E
)
,
μ
(
F
)
}
{\displaystyle \min\{\mu (E),\mu (F)\}\leq \mu (E\oplus F)\leq \max\{\mu (E),\mu (F)\}}
이기 때문이다.
외부 링크
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