유니터리 군

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수학에서, 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬리 군이다. 기호는 .

정의편집

복소수 힐베르트 공간  가 주어졌을 때, 유니터리 군    위의 유니터리 작용소들의 이다.

만약    차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은  으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은   유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

 

이다.

유니터리 리 대수편집

유니터리 군   차원 실수 리 군이다. 그 리 대수

 

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로,  는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질편집

군론적 성질편집

유니터리 군  중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

 

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

 

군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군특수 유니터리 군  이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

 

리 이론적 성질편집

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

 

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군대칭군  이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질편집

모든 양의 정수  에 대하여, 유니터리 군  연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

 
 

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군호모토피 동치이다.

 

호프 올뭉치

 

로 인하여, 만약  이라면

 

이다.[1]:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113

 

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12
U(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U(2) 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
U(3) 0 0 6
U(4) 0 0 0
U(5) 0 0 0 0
U(6) 0 0 0 0 0

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군  을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

 

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

 

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1

 

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간  의 유니터리 군   와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때,  축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]

 

포함 관계편집

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원  이다.

참고 문헌편집

  1. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉 (PDF). 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. 
  2. Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. 《Topology》 (영어) 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4. 

외부 링크편집

같이 보기편집