주 메뉴 열기

리 대수 이론에서, 카시미르 원소(Casimir元素, 영어: Casimir element)는 리 대수보편 포락 대수중심의 특별한 원소이다.

목차

정의편집

  위의 리 대수  보편 포락 대수  환으로서의 중심  를 생각하자. 이는   위의 벡터 공간이다. 물론, 이는  의 표준적인 자연수 등급에 의하여 등급 벡터 공간으로 분해된다.

 

푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라서,    변수의  불변 다항식들의 공간과 같다.

두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는  의 원소를  카시미르 원소라고 한다.

이차 카시미르 원소편집

특히, 만약  표수 0  위의 단순 리 대수라면, 그 킬링 형식  비퇴화 이차 형식이며, 그 역행렬    위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를  이차 카시미르 원소(영어: quadratic Casimir element)라고 한다.

특히, 만약  대수적으로 닫힌 체일 때,  에 대한 정규 직교 기저 라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다.

 

성질편집

하리시찬드라 동형편집

만약  가 (대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0 위의 가약 리 대수일 경우, 하리시찬드라 동형(영어: Harish-Chandra isomorphism)에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

 

여기서 우변은  로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군  작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.

라플라스-벨트라미 연산자편집

리 군  리 대수반단순 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 킬링 형식  준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체  라플라스-벨트라미 연산자  와 같다.

편집

표수 0   위의 (양의 정부호) 3차원 직교 리 대수  를 생각하자. 그 기저는 다음과 같이 잡을 수 있다.

 

그렇다면, 이차 카시미르 원소

 

을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, 보편 포락 대수중심에 속함을 알 수 있다.

양자역학에서,  는 세 직교 방향에 대한 각운동량에 해당하며, 이차 카시미르 원소  는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 기댓값이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) 총 각운동량 양자수의 스칼라 값을  이라고 할 때, 이는  에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) 표현스핀  에 해당하므로,  가 된다.

역사편집

헨드릭 카시미르가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서  의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.[1]:81[2]

하리시찬드라 동형은 하리시찬드라가 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Oliver, David (2004). 《The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-40307-6. doi:10.1007/b97539. 
  2. Casimir, H. B. G. (1931). 《Rotation of a rigid body in quantum mechanics》 (PDF) (영어). 네덜란드: J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappij N.V. 

외부 링크편집