다음 데이터가 주어졌다고 하자.
화살집
Γ
{\displaystyle \Gamma }
각 꼭짓점
i
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )}
에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간
V
i
{\displaystyle V_{i}}
,
W
i
{\displaystyle W_{i}}
그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간 을 정의할 수 있다.
E
=
⨁
i
∈
V
(
Γ
)
(
hom
(
V
i
,
W
i
)
)
⊕
⨁
i
,
j
∈
V
(
Γ
)
,
e
∈
hom
Γ
(
i
,
j
)
hom
(
V
i
,
V
j
)
{\displaystyle E=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}\hom(V_{i},V_{j})}
그 차원은
dim
V
i
=
v
i
{\displaystyle \dim V_{i}=v_{i}}
dim
W
i
=
w
i
{\displaystyle \dim W_{i}=w_{i}}
로 놓고,
C
V
(
Γ
)
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}}
위의 브라-켓 표기법 을 사용하면
dim
C
E
=
⟨
v
|
A
(
Γ
)
|
v
⟩
+
⟨
v
|
w
⟩
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }E=\langle v|{\mathsf {A}}(\Gamma )|v\rangle +\langle v|w\rangle }
이다. 여기서
A
(
Γ
)
{\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )}
는
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 인접 행렬 이다. 만약
(
V
i
,
W
i
)
i
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle (V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}}
에 각각 복소수 내적 공간 의 구조를 부여하면,
E
{\displaystyle E}
역시 복소수 내적 공간 이 된다. 또한,
T
∗
E
≅
E
⊕
E
∗
=
⨁
i
∈
V
(
Γ
)
(
hom
(
V
i
,
W
i
)
⊕
hom
(
W
i
,
V
i
)
)
⊕
⨁
i
,
j
∈
V
(
Γ
)
,
e
∈
hom
Γ
(
i
,
j
)
(
hom
(
V
i
,
V
j
)
⊕
hom
(
V
j
,
V
i
)
)
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E\cong E\oplus E^{*}=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i})\oplus \hom(W_{i},V_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}(\hom(V_{i},V_{j})\oplus \hom(V_{j},V_{i}))}
위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간 의 구조가 주어진다.
이 위에는 대수군
G
=
∏
i
∈
V
(
Γ
)
GL
(
V
i
;
C
)
{\displaystyle G=\prod _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\operatorname {GL} (V_{i};\mathbb {C} )}
이 작용 하며, 이는
T
∗
E
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E}
의 초켈러 다양체 구조와 호환된다.
G
{\displaystyle G}
의 작용의 운동량 사상
μ
:
T
∗
E
→
l
i
e
(
G
)
∗
{\displaystyle \mu \colon \mathrm {T} ^{*}E\to {\mathfrak {lie}}(G)^{*}}
의 정귯값
ζ
∈
l
i
e
(
G
)
∗
{\displaystyle \zeta \in {\mathfrak {lie}}(G)^{*}}
에 대하여 초켈러 몫
E
/
/
/
G
{\displaystyle E/\!/\!/G}
를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫 을 취하여 준안정점 이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체 를
(
Γ
,
(
V
i
,
W
i
)
i
∈
V
(
Γ
)
)
{\displaystyle (\Gamma ,(V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )})}
의 나카지마 화살집 다양체 라고 한다. 이는 흔히
M
(
Γ
,
v
,
w
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)}
로 표기된다. 그 복소수 차원은
dim
C
M
(
Γ
,
v
,
w
)
=
2
(
⟨
v
|
(
A
(
Γ
)
−
1
)
|
v
⟩
+
⟨
v
|
w
⟩
)
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)=2(\langle v|({\mathsf {A}}(\Gamma )-1)|v\rangle +\langle v|w\rangle )}
이다. 여기서
1
−
A
(
Γ
)
{\displaystyle 1-{\mathsf {A}}(\Gamma )}
는 일반화 카르탕 행렬 이라고 한다. (만약
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집 이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수 의 카르탕 행렬 과 같다.)
나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체 를 이룬다.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 SU(2)의 유한 부분군 의 매케이 화살집 (즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표 )라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬
A
(
Γ
)
{\displaystyle {\mathsf {A}}(\Gamma )}
는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬 이다.
이제,
|
v
⟩
∈
(
1
−
A
(
Γ
)
)
=
|
1
⟩
{\displaystyle |v\rangle \in (1-{\mathsf {A}}(\Gamma ))=|1\rangle }
⟨
1
|
v
⟩
=
1
{\displaystyle \langle 1|v\rangle =1}
인
|
v
⟩
∈
C
V
(
Γ
)
{\displaystyle |v\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}}
를 고를 수 있다. 여기서
|
1
⟩
∈
C
V
(
Γ
)
{\displaystyle |1\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}}
은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터 이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는
|
v
⟩
{\displaystyle |v\rangle }
를 유일하게 결정한다. 그렇다면
M
(
|
v
⟩
,
|
1
⟩
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(|v\rangle ,|1\rangle )}
은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간 (영어 : asymptotically locally Euclidean [ALE] space )이다. 즉, 이 경우
dim
C
M
(
Γ
,
|
v
⟩
,
|
1
⟩
)
=
2
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,|v\rangle ,|1\rangle )=2}
이다.
이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수
ζ
∈
R
3
{\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{3}}
는 ALE공간의 크기를 결정한다.
ζ
→
0
{\displaystyle \zeta \to 0}
극한은 ALE 공간이 오비폴드
R
4
/
G
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}/G}
로 가는 극한에 해당한다.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집 이라고 하자. 그렇다면,
E
=
hom
(
V
,
V
)
⊕
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,W)}
T
∗
E
=
hom
(
V
,
V
)
⊕
hom
(
V
,
V
)
⊕
hom
(
V
,
W
)
⊕
hom
(
W
,
V
)
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,V)\oplus \hom(V,W)\oplus \hom(W,V)}
이다. 이 경우
dim
R
M
(
v
,
w
)
=
4
v
w
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }{\mathcal {M}}(v,w)=4vw}
인 초켈러 다양체 를 얻는다. 이는 순간자수가
k
{\displaystyle k}
인
SU
(
w
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (w)}
양-밀스 순간자 의 모듈라이 공간 이며, 이는 ADHM 작도 와 같다.
이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자 의 모듈라이 공간 도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우
Γ
{\displaystyle \Gamma }
는 SU(2) 유한 부분군
G
{\displaystyle G}
매케이 화살집 이며,
|
v
⟩
{\displaystyle |v\rangle }
와
|
w
⟩
{\displaystyle |w\rangle }
는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로,
w
{\displaystyle w}
는 순간자가 기본군
π
1
(
R
4
/
G
)
≅
G
{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{4}/G)\cong G}
를 돌았을 때의 홀로노미 를 묘사하며,
v
{\displaystyle v}
는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저 는
G
{\displaystyle G}
의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.
만약 모든
i
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle i\in \operatorname {V} (\Gamma )}
에 대하여
⟨
i
|
v
⟩
=
1
{\displaystyle \langle i|v\rangle =1}
이라면 (즉, 모든
V
i
{\displaystyle V_{i}}
의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면
G
=
U
(
1
)
|
V
(
Γ
)
|
{\displaystyle G=\operatorname {U} (1)^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}}
이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체 의 특수한 경우이다.[3]
나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머(영어 : Peter B. Kroneimer )와 나카지마 히라쿠(일본어 : 中島 啓 ( なかじま ひらく ) , 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자 의 ADHM 작도 를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다.[4]
이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집 에 대하여 일반화하였다.[5]
↑ Ginzburg, Victor (2008). “Lectures on Nakajima’s quiver varieties” (영어). arXiv :0905.0686 .
↑ Nakajima, Hiraku (2016). “Introduction to quiver varieties for ring and representation theorists” (영어). arXiv :1611.10000 .
↑ Joó, Dániel (2015). 《Toric quiver varieties》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Mátyás Domokos). Central European University.
↑ Kronheimer, Peter B.; Nakajima, Hiraku (1990). “Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons”. 《Mathematische Annalen》 (영어) 288 (1): 263–307. doi :10.1007/BF01444534 . ISSN 0025-5831 .
↑ Nakajima, Hiraku (1994). “Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac–Moody algebras”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 76 : 365–416. doi :10.1215/S0012-7094-94-07613-8 . MR 1302318 . Zbl 0826.17026 .