비트 분해 정리 (Witt分解定理, 영어 : Witt decomposition theorem )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
(
V
,
Q
)
=
(
V
0
,
0
)
⊕
(
V
1
,
Q
1
)
⊕
(
V
2
,
Q
2
)
{\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})}
여기서 각 성분은 다음과 같다.
(
V
0
,
0
)
{\displaystyle (V_{0},0)}
(
V
1
,
Q
1
)
{\displaystyle (V_{1},Q_{1})}
비퇴화 이차 형식 인 이차 공간이다.
(
V
2
,
Q
2
)
{\displaystyle (V_{2},Q_{2})}
분할 이차 공간 (영어 : split quadratic space )이다. 즉,
dim
K
V
2
=
2
n
{\displaystyle \dim _{K}V_{2}=2n}
V
2
{\displaystyle V_{2}}
Q
2
|
W
=
0
{\displaystyle Q_{2}|_{W}=0}
n
{\displaystyle n}
W
⊆
V
2
{\displaystyle W\subseteq V_{2}}
이 경우
(
V
1
,
Q
1
)
{\displaystyle (V_{1},Q_{1})}
(
V
,
Q
)
{\displaystyle (V,Q)}
핵심 (核心, 영어 : core )이라고 한다. 또한,
dim
K
(
V
1
⊕
V
2
)
{\displaystyle \dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})}
Q
{\displaystyle Q}
계수 (階數, 영어 : rank )라고 하며,
(
dim
K
V
2
)
/
2
{\displaystyle (\dim _{K}V_{2})/2}
Q
{\displaystyle Q}
비트 지표 (영어 : Witt index )라고 한다.[ 1] :58
Q
|
W
=
0
{\displaystyle Q|_{W}=0}
부분 순서 집합 에서, 극대 원소 들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
같은 체 위의 두 이차 공간
(
V
,
Q
)
{\displaystyle (V,Q)}
(
V
′
,
Q
′
)
{\displaystyle (V',Q')}
비트 동치 (영어 : Witt-equivalent )라고 한다. 표수 가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
동치류 들의 집합
Witt
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}
가환환 을 이룬다.
(
V
,
Q
)
+
(
V
′
,
Q
′
)
=
(
V
⊕
V
′
,
Q
⊕
Q
′
)
{\displaystyle (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')}
⊕
{\displaystyle \oplus }
직합 이다.
−
(
V
,
Q
)
=
(
V
,
−
Q
)
{\displaystyle -(V,Q)=(V,-Q)}
0
=
(
K
0
,
0
)
{\displaystyle 0=(K^{0},0)}
K
0
{\displaystyle K^{0}}
K
{\displaystyle K}
(
V
,
Q
)
⋅
(
V
′
,
Q
′
)
=
(
V
⊗
V
′
,
Q
⊗
Q
′
)
{\displaystyle (V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')}
⊗
{\displaystyle \otimes }
텐서곱 이다.
1
=
(
K
1
,
x
↦
x
2
)
{\displaystyle 1=(K^{1},x\mapsto x^{2})}
이 가환환을
K
{\displaystyle K}
비트 환 이라고 한다.
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
(
dim
mod
2
)
:
dim
:
Witt
(
K
)
→
Z
/
(
2
)
{\displaystyle (\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)}
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
등급환 을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵
i
(
K
)
=
ker
(
dim
mod
2
)
⊆
Witt
(
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)=\ker(\dim {\bmod {2}})\subseteq \operatorname {Witt} (K)}
기본 아이디얼 (영어 : fundamental ideal )이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
행렬식 (영어 : determinant ) 또는 판별식 (영어 : discriminant )
det
Q
∈
K
×
/
(
K
×
)
2
{\displaystyle \det Q\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
Q
{\displaystyle Q}
대칭 행렬
Q
(
x
)
=
x
⊤
M
x
{\displaystyle Q(x)=x^{\top }Mx}
행렬식
det
M
{\displaystyle \det M}
K
×
/
(
K
×
)
2
{\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
동치류 이다. 이 경우, 사용하는 기저 를 가역 행렬
A
{\displaystyle A}
A
M
′
A
=
M
{\displaystyle AM'A=M}
(
det
M
′
)
(
det
A
)
2
=
det
M
{\displaystyle (\det M')(\det A)^{2}=\det M}
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은
K
×
/
(
K
×
)
2
{\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
가환환
GrQExt
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}
GrQExt
(
K
)
=
{
(
d
,
e
)
:
d
∈
K
×
/
(
K
×
)
2
,
e
∈
Z
/
(
2
)
}
{\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}}
(
d
,
e
)
+
(
d
′
,
e
′
)
=
(
(
−
1
)
e
e
′
d
d
′
,
e
+
e
′
)
{\displaystyle (d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)}
(
d
,
e
)
(
d
′
,
e
′
)
=
(
d
e
′
d
′
e
,
e
e
′
)
{\displaystyle (d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{e},ee')}
즉,
GrQExt
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}
K
{\displaystyle K}
Z
/
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}
등급 이차 확대 의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.[ 2] :113
그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형 이 존재한다.
Witt
(
K
)
→
GrQExt
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)}
(
V
,
Q
)
↦
(
det
Q
,
dim
K
V
mod
2
)
{\displaystyle (V,Q)\mapsto (\det Q,\dim _{K}V{\bmod {2}})}
이는 전사 함수 이며, 그 핵 은 기본 아이디얼의 제곱이다.[ 3] :12
표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
V
{\displaystyle V}
Q
=
diag
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수 )
(
a
i
,
a
j
K
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)}
중심 단순 대수 를 이루며, 따라서 브라우어 군
Br
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Br} (K)}
Q
{\displaystyle Q}
하세-비트 불변량 (영어 : Hasse–Witt invariant )은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
ϵ
(
V
,
Q
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
i
+
1
n
[
(
a
i
,
a
j
K
)
]
∈
Br
(
K
)
{\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)}
이는
Q
{\displaystyle Q}
표수 가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
Witt
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}
i
(
K
)
⊆
Witt
(
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {Witt} (K)}
하강 여과 를 이룬다.
Witt
(
K
)
=
i
(
K
)
0
⊇
i
(
K
)
1
⊇
i
(
K
)
2
⊇
i
(
K
)
3
⊇
⋯
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots }
이에 대응되는
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
등급환
R
(
K
)
=
⨁
n
=
0
∞
R
n
(
K
)
{\displaystyle R(K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(K)}
R
n
(
K
)
=
i
(
K
)
n
/
i
(
K
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}}
을 정의할 수 있다.
체
K
{\displaystyle K}
피스터 이차 형식 (영어 : Pfister quadratic form )은 다음과 같은 꼴의,
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
벡터 공간 위의 이차 형식 이다.
diag
(
1
,
−
a
1
)
⊗
K
diag
(
1
,
−
a
2
)
⊗
K
⋯
⊗
K
diag
(
1
,
−
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}
i
(
K
)
n
{\displaystyle i(K)^{n}}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
[ 2] :316
체
K
{\displaystyle K}
밀너 환
K
M
(
K
)
=
T
(
K
×
;
Z
)
(
a
⊗
(
1
−
a
)
)
a
∈
K
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}}
의 원소를
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
}
∈
K
n
M
(
K
)
{\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\in \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}
등급환 준동형 을 정의할 수 있다.
K
∙
M
(
K
)
→
R
∙
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R_{\bullet }(K)}
{
a
1
,
…
,
a
n
}
↦
diag
(
1
,
−
a
1
)
⊗
K
diag
(
1
,
−
a
2
)
⊗
K
⋯
⊗
K
diag
(
1
,
−
a
n
)
{\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}
이차 형식에 대한 밀너 추측 (영어 : Milnor conjecture on quadratic forms )에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형 을 이룬다. 이는 존 밀너 가 추측하였으며,[ 4] 러시아어 : Дми́трий Орло́в ) · 알렉산드르 비시크(러시아어 : Алекса́ндр Вишик ) · 블라디미르 보예보츠키 가 증명하였다.[ 5]
K
{\displaystyle K}
표수 가 2가 아닌 이차 폐체 (영어 : quadratically closed field , 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어,
K
{\displaystyle K}
대수적 폐포 인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간
K
n
{\displaystyle K^{n}}
r
{\displaystyle r}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
Z
/
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}
[ 2] :34
대수적으로 닫힌 체 의 브라우어 군 은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
에우클레이데스 체 (영어 : Euclidean field , 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체 )라고 하자. (예를 들어,
K
{\displaystyle K}
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실폐체 일 경우 이에 해당된다.)
K
{\displaystyle K}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
[ 2] :34
Witt
(
K
)
≅
Z
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z} }
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
계수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
n
{\displaystyle n}
계수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
−
n
{\displaystyle -n}
0차원의 벡터 공간 위의 형식은
0
{\displaystyle 0}
실수체 의 브라우어 군 은 실수체 와 사원수환
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
순환군 이다.
Br
R
=
{
R
,
H
}
≅
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)}
이 경우 힐베르트 기호 가
(
a
,
b
R
)
=
{
−
1
max
{
a
,
b
}
<
0
+
1
max
{
a
,
b
}
>
0
{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}}
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수
(
n
+
,
n
−
)
{\displaystyle (n_{+},n_{-})}
Q
{\displaystyle Q}
ϵ
(
Q
)
=
(
−
1
)
s
(
s
−
1
)
/
2
{\displaystyle \epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}}
이다.
비아르키메데스 국소체
K
{\displaystyle K}
잉여류체 의 크기가
q
{\displaystyle q}
q
{\displaystyle q}
K
{\displaystyle K}
[ 2] :152
Witt
(
K
)
≅
{
(
Z
/
(
2
)
)
[
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
]
q
≡
1
(
mod
4
)
(
(
Z
/
(
4
)
)
[
Cyc
(
2
)
]
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
여기서
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
순환군 이며,
R
[
G
]
{\displaystyle R[G]}
군환 을 뜻한다.
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
[ 2] :166
W
(
Q
)
≅
(
Z
/
(
8
)
)
[
s
,
t
]
/
(
2
s
,
2
t
,
s
2
,
t
2
,
s
t
−
4
)
{\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)}
표수 가 2가 아닌 유한체
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
F
q
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
이들은 구체적으로 다음과 같다.
a
∈
F
q
{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}}
∄
b
∈
F
q
:
b
2
=
a
{\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a}
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식 )은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
Q
1
(
n
)
=
diag
(
1
,
…
,
1
,
1
)
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}
Q
2
(
n
)
=
diag
(
1
,
…
,
1
,
a
)
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}
즉, 다음과 같은 꼴이다.
Q
1
(
n
)
(
x
)
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
Q
2
(
n
)
(
x
)
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
a
x
n
2
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}}
만약
n
{\displaystyle n}
Q
2
(
n
)
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}}
α
Q
1
(
n
)
{\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}
[ 1] :69
Q
1
(
n
)
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}}
Q
2
(
n
)
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}}
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle (n-1)/2}
만약
n
{\displaystyle n}
Q
1
(
n
)
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}}
α
Q
1
(
n
)
{\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}
[ 1] :59
n
≡
2
(
mod
4
)
{\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}
Q
1
(
n
)
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}}
n
/
2
−
1
{\displaystyle n/2-1}
Q
2
(
n
)
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}}
n
/
2
{\displaystyle n/2}
n
≡
0
(
mod
4
)
{\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}
Q
1
(
n
)
{\displaystyle Q_{1}^{(n)}}
n
/
2
{\displaystyle n/2}
Q
2
(
n
)
{\displaystyle Q_{2}^{(n)}}
n
/
2
−
1
{\displaystyle n/2-1}
이 경우, 비트 지표가
n
/
2
{\displaystyle n/2}
플러스형 (영어 : plus-type ),
n
/
2
−
1
{\displaystyle n/2-1}
마이너스형 (영어 : minus-type )이라고 한다.[ 1] :59
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
diag
(
1
,
…
,
1
,
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}
diag
(
1
,
…
,
1
,
a
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}
홀수 차수 유한체
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
q
{\displaystyle q}
[ 2] :37
W
(
F
q
)
≅
{
Z
/
(
4
)
q
≡
3
(
mod
4
)
F
2
[
F
q
×
/
(
F
q
×
)
2
]
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}
Z
/
(
4
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(4)}
0
1
2
3
W
(
F
q
)
{\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})}
Q
1
(
0
)
{\displaystyle Q_{1}^{(0)}}
Q
1
(
1
)
{\displaystyle Q_{1}^{(1)}}
Q
1
(
2
)
{\displaystyle Q_{1}^{(2)}}
Q
2
(
1
)
{\displaystyle Q_{2}^{(1)}}
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}
F
2
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})}
0
1
x 1+x
Witt
(
F
q
)
{\displaystyle \operatorname {Witt} (\mathbb {F} _{q})}
Q
1
(
0
)
{\displaystyle Q_{1}^{(0)}}
Q
1
(
1
)
{\displaystyle Q_{1}^{(1)}}
Q
2
(
2
)
{\displaystyle Q_{2}^{(2)}}
Q
2
(
1
)
{\displaystyle Q_{2}^{(1)}}
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![{\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b68d3be1dc6af582ed11b4d01b6b3a3f9cee9c6)
![{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d42e6996c1a79d926f9536003ce2877f26e4bf2)
![{\displaystyle R[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc4570ea0faa6453735827f1e877904ecf78fe)
![{\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2257b1a13dfe101a1805841499fdaf0ce80aa49)
![{\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f379fd5c2566e1f15f0319c962928e7ce4ce9ec5)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ea053e509af126e14bd9cbe6bbd9ca650ae669)
