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수학에서 쓰이는 함수 중에는 고유한 이름을 가질 정도로 중요한 함수가 여러 개 존재한다. 이 문서는 그에 해당되는 함수에 대해 더 자세한 설명을 해 주는 기사의 링크롤 모아 둔 목록이다. 통계학과 수리물리학에서 유래한 특수함수에 대한 이론이 존재하기도 한다. 현대 수학의 추상적인 관점에서는 무한차원이면서도 대다수의 함수가 익명 함수인 큰 함수공간과 별도로 대칭성이나 조화해석학, 군 표현론 등에 대한 관계에 따라 선별된 특수 함수를 구분한다.

초등함수

초등함수 are 함수 built from basic operations (e.g. addition, 지수s, 로그...)

대수함수

대수함수 are 함수 that can be expressed as the solution of a 다항식equation with integer coefficients.

• 다항함수: Can be generated by addition and multiplication alone.
  • 일차함수: First degree 다항식, graph is a straight line.
  • 이차함수: Second degree 다항식, graph is a 포물선.
  • 삼차함수: Third degree 다항식.
  • 4차함수: Fourth degree 다항식.
  • Quintic 함수: Fifth degree 다항식.
  • Sextic 함수: Sixth degree 다항식.
• 유리 함수: A ratio of two 다항식.
• N제곱근
  • 제곱근: Yields a수 whose square is the given one $x^{\frac {1}{2}}\!\$.
  • 세제곱근: Yields a수 whose cube is the given one $x^{\frac {1}{3}}\!\$.

초등초월함수

대수함수가 아닌 함수는 초월함수라고 한다.

• 지수 함수: 밑이 상수이고 지수가 변수인 함수.
• 거듭제곱 함수: 밑이 변수이고 지수가 상수인 함수. 지수가 유리수일 경우 엄격하게는 초월함수가 아님.
• 쌍곡선함수: 삼각함수의 변수가 허수일 때의 형태.
• 로그: 지수 함수의 역함수. 지수와 관련된 방정식을 풀 때 유용.
  • 자연로그
  • 상용로그
  • 2진로그
  • 부정로그
• 주기함수
  • 삼각함수: 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent) 등. 기하학에서 사용되며 일반적인 주기 현상을 나타낼 때 사용. 구더만 함수 참조.
  • 톱니파
  • 네모파
  • 삼각파

특수함수

기본적인 특수 함수

• 표시함수: maps x to either 1 or 0, depending on whether or not x belongs to some subset.
• 계단함수: A finite linear combination of indicator 함수s of half-open intervals.
  • 헤비사이드 계단함수: 0 for negative arguments and 1 for positive arguments. The적분 of the 디랙 델타함수.
  • 바닥 함수, 천장 함수: Largest integer less than or equal to a given수.
  • 부호함수: Returns only the sign of a수, as +1 or −1.
• 절대값: distance to the origin (zero point)

정수론 함수

• 시그마함수: Sums of 거듭제곱s of divisors of a given 자연수.
• 오일러's totient 함수:수 of수 coprime to (and not bigger than) a given one.
• Prime-counting 함수: 수 of primes less than or equal to a given수.
• Partition 함수: Order-independent count of ways to write a given positive integer as a sum of positive integers.

초등함수의 원시함수

• 로그ic적분 함수:적분 of the reciprocal of the 로그, important in the prime수 theorem.
• 지수적분
• 삼각적분: Including Sine적분 and Cosine적분
• 오차 함수: An적분 important for normal random variables.
  • 프레넬 적분: related to the error 함수; used in optics.
  • 도슨 함수: occurs in probability.

감마 및 관련 함수

• 감마함수: 팩토리얼의 일반화.
• 반스 G 함수
• 베타 함수: 이항계수의 일반화.
• 다이감마함수, 폴리감마함수
• 불완전 베타함수
• 불완전 감마함수
• K-함수
• 다변수 감마함수: 다변량 통계학에 유용한 감마함수의 일반화.
• t 분포

타원 및 관련 함수

• 타원적분s: Arising from the path length of ellipses; important in many applications. Related 함수 are the quarter period and the nome. Alternate notations include:
  • 칼슨 대칭형식
  • 르장드르 형식
• 타원함수s: The inverses of 타원적분s; used to model double-주기phenomena. Particular types are 바이어슈트라스's 타원함수 and Jacobi's 타원함수.
• 세타함수
• Closely related are the modular 형식s, which include
  • J 불변함수
  • 데데킨트 에타함수

베셀 및 관련 함수

• 에어리 함수
• 베셀 함수s: Defined by a differential equation; useful in astronomy, electromagnetism, and mechanics.
• 베셀-클리퍼드 함수
• 르장드르 함수: From the 이론 of 구면조화함수.
• 스코러 함수
• 싱크함수
• 에르미트 다항식
• 체비쇼프 다항식

리만 제타 및 관련 함수

• 리만 제타함수: A special case of 디리클레 급수.
• 디리클레 에타함수: An allied 함수.
• 후르비츠 제타함수
• 르장드르 카이함수
• Lerch 초월함수
• 폴리로그 and related 함수:
  • 불완전 poly로그
  • 클라우센 함수
  • 완전 페르미-디랙 적분, an alternate 형식 of the poly로그.
  • 불완전 페르미-디랙 적분
  • 쿰머 함수
  • 스펜스 함수
• Riesz 함수

초기하 및 관련 함수

• 초기하함수s: Versatile family of 거듭제곱 급수.
• 합류 초기하함수
• 부수된 르장드르 함수
• 마이어 G 함수

반복 지수 및 관련 함수

• 하이퍼 연산자
• 반복로그
• Tetration
• Pentation
• Super-로그
• Super-제곱근
• 램버트 W 함수: Inverse of f(w) = w exp(w).

기타 표준적인 함수

• 람다 함수
• 라메 함수
• 미타크-레플러 함수
• 팽르베 초월함수
• 포물기둥함수
• 싱크로트론 함수

기타

• 애커만 함수: in the 이론 of computation, a computable 함수 that is not primitive recursive.
• 디랙 델타함수: everywhere zero except for x = 0; total적분 is 1. Not a 함수 but a 분포, but sometimes in형식ally referred to as a 함수, particularly by physicists and engineers.
• 디리클레 함수: is an indicator 함수 that matches 1 to 유리수 and 0 to 무리s. It is nowhere continuous.
• 크로네커 델타함수: is a 함수 of two variables, usually integers, which is 1 if they are equal, and 0 otherwise.
• 민코프스키's question mark 함수: Derivatives vanish on the 유리s.
• 바이어슈트라스 함수: is an example of continuous 함수 that is nowhere differentiable